在电路中运用叠加定理时，储能元件（电容，电感）的初始值只能计算一次

我们在《》讲到：含有电容、电感的电路也是线性电路。其实这句话是存在瑕疵的，应该说当电感，电容中不储能，即其初始值为零的时候，电感，电容是线性元件（线性系统）。这个我们从线性系统的定义可以看出：
当一个系统满足ay=ax时，通俗的讲就是当其输入增加或减少a倍，其输出同时也增加或减少a倍时，就说这个系统是线性系统。
依据上面的定义，我们看下电容的公式：
当我们以u为输入，i为输出的时候
i(t)=c∗dudti(t) =c*\frac{du}{dt} i(t)=c∗dtdu
这个系统就是线性系统，但是这个时候也不存在初始值的概念了。因为自变量就是u。
当我们以i为输入，u为输出的时候
u(t)=1c∗∫0ti(t)dt+u(0) u(t) =\frac1c *\int_0^t i(t)dt+u(0)\, u(t)=c1∗∫0ti(t)dt+u(0)
这个时候当i(t)i(t)i(t)变为原来的两倍时，很显然我们不能直接得到u(t)u(t)u(t)也是原来的两倍。这就不是一个线性的系统。

并且在实际的电路中，我们很难以一个电压直接作为电容的自变量。例如

在这个电路中，如果我们用电容的电流做方程，会得到
us(t)=i(t)∗r+∫0ti(t)dt+u(0) u_s(t) =i(t)*r +\int_0^t i(t)dt+u(0)\, us(t)=i(t)∗r+∫0ti(t)dt+u(0)
这样做是得不到微分方程，没法求解的。
因此我们只能列下面的微分方程
us(t)=uc+r∗cdudtu_s(t) =u_c +r*c\frac{du}{dt} us(t)=uc+r∗cdtdu
我们注意观察这个方程，其解得的值为
uc=u0∗e−trc+us(1−e−trc)u_c =u_0*e^{- \frac{t}{rc}}+u_s(1-e^{-\frac{t}{rc}}) uc=u0∗e−rct+us(1−e−rct)
也就是说这个系统的输出是电容电压，输入是电源电压，这个系统是非线性的。那么我们就不能利用叠加定理了吗，其实不是的，
注意观察，上面式子的右边是线性的，且只与电源电压有关，左边是电容的零输入响应。
其实左边的部分可以写为
u0∗e−trc=u0∗δ∗(1−e−trc)u_0*e^{- \frac{t}{rc}}=u_0*\delta*(1-e^{-\frac{t}{rc}}) u0∗e−rct=u0∗δ∗(1−e−rct)
其中的δ\deltaδ为单位冲激激励，其积分值为1。也就是说：电容的零输入响应其实相当于冲激激励的零状态响应（冲激量的积分为电容的初始值）
这就巧妙的避开了电容初始值的问题。其实在电路教材里面，我们已经知道了电路的全响应=零状态响应+零输入响应。这就是我们在利用叠加定理时需要注意的。

总结

带有初始值的电容，电感组成的系统可以看做是线性系统，也可以利用叠加定理求解，但是要考虑系统的零输入响应。

我们在利用叠加定理的时候，可以将电容的初始值置零，然后计算所有激励的响应，叠加起来。这个时候注意，我们还要将所有激励置零，然后计算在电容初始值条件下的零输入响应，最后将两部分叠加起来就是电容的实际响应。
即：

全响应=电容置零时电源1的零状态响应+电容置零时电源2的零状态响应+电容置零时电源n的零状态响应+电源置零时的电容的零输入响应。

其实从另一个角度考虑，电源置零时的电容的零输入响应其实相当于电容置零时，冲激电源的响应（冲激量的积分为电容的初始值）
那么上面的式子可以写为：

全响应=电容置零时电源1的零状态响应+电容置零时电源2的零状态响应+电容置零时电源n的零状态响应+电容置零时的冲激响应

因为都是电容置零，所以简写为：

全响应=电源1的零状态响应+电源2的零状态响应+电源n的零状态响应+冲激响应（冲激量的积分为电容的初始值）

另外还可以写为：

全响应=电源1全响应+电源2的零状态响应+电源n的零状态响应

也就是说：在电路中运用叠加定理时，储能元件（电容，电感）的初始值只能计算一次

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