双曲线和直线联立公式_谈直线和双曲线的位置关系之(1)联立方程法

【专题九】登峰造极,唯我独尊

——谈直线和双曲线的位置关系之(1)联立

方程法

直线与双曲线的位置关系题型包括①判断交点个数②判断相切、相交、相离三种位置关系③求弦长及三角形面积等问题；用到的思想是数形结合思想，方法是联立方程法，具体做法如下：

① 联立方程：直线l：y kx m(m 0)

y kx mx2y2 双曲线C：2 2 1(a＞0，b＞0) x2y2 ab 2 2 1b a

②消去y(或x) ，得到关于x(或y)的方程

(b2 a2k2)x2 2a2mkx a2m2 a2b2 0

a) 讨论二次项系数为零和不为零两种情况

ⅰ)为零，相交，且只有一个交点

当b2 a2k2 0，即k 时，直线l与双曲线的渐进线_，直线与双曲b

线C相交于一点； ⅱ)不为零时，利用判别式△来判断

当b2 a2k2 0

2，2 4b即k ba时， (a 2m k2)(2 ak) (a k)( a① 0时，直线l与双曲线相交，有两个公共点

② 0时，直线l与双曲线相切，有且仅有一个公共点

③ 0时，直线l与双曲线相离，无公共点

【点拨】①直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么? ?(不一定)

②直线与双曲线相交，必有两个公共点?(对吗，为什么?)

③弦长公式：

ⅰ) AB kx1 x2 k22(x1 x2)2 4x1x2 k2 (含xa

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