NR polar Code 三极化内核（克罗克内积）

前言：

最近在YooTube 上面看到一个印度教授NPTEL 项目中关于这块的一个公开课。

他的MIMO 也讲的非常棒，推荐看看

https://www.youtube.com/watch?v=rB0rhQKyV34

看polar之前,推荐还是看一下机器学习中的决策树,然后对照着看一下。

这篇看完之后，会对encoding ，以及bit reverse 有更深刻的理解。

极化内核 $G_2$
极化内核 $G_4$
极化内核 $G_8$
通用极化内核 $G_8$

一极化内核 $G_2$

1.1: 信道结构模型

1.2 极化内核

$G_2=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

这是2个2*2的矩阵,则输出 $[x_1,x_2]=U^2$

$u^2=[x_1 ,x_2]=[u_1,u_2]G_2$

$=[u_1+u_2,u_2]$

1.3 二进制树结构

$u^2:$ 输入长度为2的向量

其中加号是异或运算（或者模2运算）

二极化内核 $G_4$

2.1 信道结构模型

2.2 极化内核

两个G2极化内核做克罗克内积

先做bit reverse

再做矩阵乘法，就实现了上面信道结构中的模型

2.3 二进制树结构

$U_{i}^{j}$ : j 代表输入个数，i 代表节点标号

三极化内核 $G_8$

输入8个bits, 输出8个bits

3.1 信道结构模型

3.2 极化内核

先对输入做bit reverse

再做矩阵乘法，就实现了N=8的信道结构模型

$[x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8]=[U_1,U_5,U_3,U_7,U_2,U_6,U_4,U_8]G_8$

$=\begin{bmatrix} U_1+U_2+U_3+U_4+U_5+U_6+U_7+U_8,\\ U_5+U_6+U_7+U_8,\\ U_3+U_4+U_7+U_8,\\ U_7+U_8,\\ U_2+U_4+U_6+U_8 ,\\ U_6+U_8 \\ U_4+U_8, \\ U_8 \end{bmatrix}^T$

3.3 二进制树结构

depth =2,叶节点输出的是2个 bits,

depth=1 结点输出为4个 bits

depth=0 根结点输出 8个 bits

四通用极化内核

$G_N=\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 1& 1 \end{bmatrix}^{\bigoplus n}$

代表作n次 $G_2$ 克罗内克积

$N=2^n$ : 输入输出的个数，也是 $G_N$ 的维度

输出为：

$X=UG_N$

5G： n=10(1024 个输入）

'''
计算极化内核
'''
def GN(n=3):G_2 = np.array([[1,0],[1,1]])G_n = G_2N=  np.power(2,n)for d in range(n-1):G_n = np.kron(G_n,G_2)print("\n 输入个数:%d \t极化内核  \n"%N,G_n)GN(3)

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