一、理论基础

1、标准正弦余弦算法

请参考这里。

2、基于采蜜机制的正弦余弦算法

（1）每个个体采用相同的参数r1r_1r1​、r2r_2r2​、r3r_3r3​和r4r_4r4​

由于SCA在一次迭代中，r1r_1r1​本身是采用统一的计算公式，即所有个体都采用相同的r1r_1r1​。因此，将SCA中参数r2r_2r2​、r3r_3r3​和r4r_4r4​的位置从每个个体的维度循环内改为维度循环外，使每个个体采用相同的参数r1r_1r1​、r2r_2r2​、r3r_3r3​和r4r_4r4​，并使每个个体的所有维度以相同方式与比例进行搜索，提高算法的搜索效率。参数位置调整后种群多样性有所降低，之后采用侦察蜂算子以提高种群多样性。另外，参数r1r_1r1​采用幂递减函数自适应调整，平衡算法的全局探索能力和局部开发能力。

（2）按幂递减函数自适应调整参数r1r_1r1​

本文调整参数r1r_1r1​为幂递减函数，表达式见公式(1)：r1=a×[1−(tT)s](1)r_1=a×\left[1-\left(\frac tT\right)^s\right]\tag{1}r1​=a×[1−(Tt​)s](1)其中，sss为调整参数，主要作用是调整非线性幂递减函数的下降速率。
图1反映了算法在最大迭代次数为1000时参数r1r_1r1​按线性递减函数(SCA)、指数递减函数(ESCA)和幂递减函数的变化趋势。从图中可以看出，在算法的整个迭代过程中，标准SCA曲线是匀速下降的。相比标准SCA，ESCA曲线随着迭代次数的增加，r1r_1r1​逐渐变小，与SCA下降规律相似，体现出算法全局探索能力和局部开发能力的有机协调；SCAHGM曲线与SCA下降规律不同，在前期迭代次数最小，r1r_1r1​较大，当迭代次数大于500时，曲线出现转折，之后执行算法的局部开发阶段，中后期随着迭代次数的持续增加，r1r_1r1​非线性递减，逐渐为0，体现出算法在前期全局探索能力最强，到中后期局部开发能力增强。
由于标准SCA中正余弦算子具有优异的全局探索能力，但局部开发能力较弱，因此本文调整参数r1r_1r1​为幂递减函数以更好地平衡算法的全局探索能力和局部开发能力。

图1 r1r_1r1​递减曲线对比图

（3）动态调整参数r3r_3r3​

算法前期，r3r_3r3​在[0,2][0,2][0,2]之间随机取值，有利于算法的全局搜索，但到中后期既要注重算法的全局探索能力，更要加强算法的局部开发能力，同时要发挥目标最优解对优化过程的实际引导作用，提高算法的优化精度。因此，在算法中后期，r3r_3r3​以一定概率取常数1，减少随机性，加快算法的搜索速度。参数r3r_3r3​的调整策略详见公式(2)：r3={1t>T⋅ξand rand(0,1)<ψrand(0,2)otherwise(2)r_3=\begin{dcases}1\quad\quad\quad\quad\,\,\,\, t>T\cdot\xi\text{ and rand(0,1)}<\psi\\\text{rand(0,2)}\quad \text{otherwise}\end{dcases}\tag{2}r3​={1t>T⋅ξ and rand(0,1)<ψrand(0,2)otherwise​(2)其中，ξ\xiξ和ψ\psiψ分别为[0,1][0,1][0,1]之间的调整参数和随机数。

（4）贪婪选择策略

根据个体iii的空间位置XiX_iXi​和按更新策略产生的新个体空间位置new_Xinew\_X_inew_Xi​的函数值f(⋅)f(\cdot)f(⋅)，选择较优个体进入下一代。对于最小化问题，其选择策略按公式(3)进行，同时按照公式(4)更新limitlimitlimit。Xit+1={new_Xit,f(new_Xit)<f(Xit)Xit,f(new_Xit)≥f(Xit)(3)X_i^{t+1}=\begin{dcases}new\_X_i^t,\quad f(new\_X_i^t)<f(X_i^t)\\X_i^t,\quad\quad\quad\,\, f(new\_X_i^t)≥f(X_i^t)\end{dcases}\tag{3}Xit+1​={new_Xit​,f(new_Xit​)<f(Xit​)Xit​,f(new_Xit​)≥f(Xit​)​(3)limit={limit+1,f(new_Xit)≥f(Xit)0,f(new_Xit)<f(Xit)(4)limit=\begin{dcases}limit+1,\quad f(new\_X_i^t)≥f(X_i^t)\\0,\quad\quad\quad\quad\,\,\, f(new\_X_i^t)<f(X_i^t)\end{dcases}\tag{4}limit={limit+1,f(new_Xit​)≥f(Xit​)0,f(new_Xit​)<f(Xit​)​(4)

（5）蜂群采蜜机制

本文利用ABC算法中的采蜜蜂算子增强SCA的局部开发能力，提高算法的优化精度。在迭代过程中，以一定概率交替执行正余弦算子或采蜜蜂算子，同时利用侦察蜂算子防止算法陷入局部极值，提高全局探索能力，较好地平衡SCA的全局探索和局部开发阶段。

1. 采蜜蜂采蜜行为
   采蜜蜂算子具有较强的局部开发能力，采蜜蜂根据搜索公式(5)进行邻域搜索并产生新蜜源，同时评估其质量，再采用贪婪选择策略更新蜜源。new_Xi=Xi+rand()(Xi−Xk)(5)new\_X_i=X_i+\text{rand()}(X_i-X_k)\tag{5}new_Xi​=Xi​+rand()(Xi​−Xk​)(5)其中，rand()\text{rand()}rand()为[−1,1][-1,1][−1,1]之间的随机数，k∈{1,2,⋯,N}k\in\{1,2,\cdots,N\}k∈{1,2,⋯,N}，kkk随机选取，且k≠ik≠ik​=i，NNN为蜜蜂总数。
2. 侦察蜂行为
   侦察蜂主要搜寻在蜂巢周围潜在的蜜源。当连续停留的次数limitlimitlimit达到一定的阈值LimitLimitLimit仍未找到更优空间位置时，即表明陷入了局部最优，此后蜜蜂的角色由采蜜蜂或观察蜂转变为侦察蜂，并按照随机分布重新搜索随机产生新蜜源。

（6）更改空间位置更新方程

因正弦函数sin⁡(r2)\sin(r_2)sin(r2​)取正值和负值的概率相等，去掉位置更新方程中的绝对值符号也无妨，故本文引入该方法并将空间位置更新方程改写为：Xijt+1={Xijt+r1×sin⁡(r2)×(r3Pjt−Xijt)r4<0.5Xijt+r1×cos⁡(r2)×(r3Pjt−Xijt)r4≥0.5(6)X_{ij}^{t+1}=\begin{dcases}X_{ij}^t+r_1×\sin(r_2)×\left(r_3P_j^t-X_{ij}^t\right)\quad r_4<0.5\\X_{ij}^t+r_1×\cos(r_2)×\left(r_3P_j^t-X_{ij}^t\right)\,\,\,\,\, r_4≥0.5\end{dcases}\tag{6}Xijt+1​={Xijt​+r1​×sin(r2​)×(r3​Pjt​−Xijt​)r4​<0.5Xijt​+r1​×cos(r2​)×(r3​Pjt​−Xijt​)r4​≥0.5​(6)

3、改进算法的具体步骤

SCAHGM的具体步骤如下：
Step1：初始化参数，如种群规模NNN，空间维度DDD，阈值LimitLimitLimit，当前迭代次数iteriteriter，最大迭代次数maxCyclemaxCyclemaxCycle及常数aaa等，随机产生初始种群；
Step2：计算种群中每个个体的函数值，并记录全局最优解；
Step3：根据一定的概率PPP判断执行正余弦算子阶段还是采蜜蜂算子阶段。若执行正余弦算子阶段，转向Step4，否则，执行采蜜蜂算子阶段，转向Step5；
Step4：在正余弦算子阶段，随机产生参数r2r_2r2​和r4r_4r4​，并根据公式(1)(2)计算参数r1r_1r1​和r3r_3r3​的值，随后再以公式(6)更新每个个体的空间位置，转向Step6；
Step5：在采蜜蜂算子阶段，根据公式(5)产生新蜜源；
Step6：根据目标函数计算每个个体的函数值；
Step7：执行贪婪选择策略，按照公式(3)更新每个个体，按照公式(4)更新limitlimitlimit；
Step8：更新全局最优解；
Step9：执行侦察蜂算子，若搜索限制次数达到LimitLimitLimit，采蜜蜂变为侦察蜂，并随机产生新蜜源。
Step10：是否达到算法设定的收敛条件(如maxCyclemaxCyclemaxCycle或目标精度)？若是，停止迭代并输出最优值，否则转向Step3。

二、仿真实验与分析

为了测试SCAHGM的性能，本文将其与标准SCA进行对比。实验中，算法种群规模N=30N=30N=30，维度D=30D=30D=30，对应的最大迭代次数maxCycle=1000maxCycle=1000maxCycle=1000，常数a=2a=2a=2。SCAHGM中其他参数设置：Limit=140,ξ=0.5,ψ=0.6,P=0.5Limit=140,\xi=0.5,\psi=0.6,P=0.5Limit=140,ξ=0.5,ψ=0.6,P=0.5。本文以文献[1]中F5、F6(单峰)、F8、F11(多峰)、F15、F23(固定维度多峰)为例。两种算法独立运行30次。
结果显示如下：

函数：F5
SCA：最优值: 27.5307,最差值:2943.9893,平均值:264.7663,标准差:568.1974
SCAHGM：最优值: 22.8522,最差值:24.9662,平均值:23.9555,标准差:0.51126
函数：F6
SCA：最优值: 3.9369,最差值:5.8304,平均值:4.4979,标准差:0.36139
SCAHGM：最优值: 3.3056e-08,最差值:3.3673e-06,平均值:6.0237e-07,标准差:7.5355e-07
函数：F8
SCA：最优值: -5223.2657,最差值:-3457.9833,平均值:-3989.088,标准差:422.5731
SCAHGM：最优值: -11641.5852,最差值:-7130.3083,平均值:-9813.1442,标准差:1088.7876
函数：F11
SCA：最优值: 0.00084329,最差值:0.97721,平均值:0.33125,标准差:0.30445
SCAHGM：最优值: 0,最差值:0,平均值:0,标准差:0
函数：F15
SCA：最优值: 0.00032097,最差值:0.0015488,平均值:0.0010401,标准差:0.000408
SCAHGM：最优值: 0.00030749,最差值:0.0012232,平均值:0.00044131,标准差:0.00031843
函数：F23
SCA：最优值: -9.8707,最差值:-0.94368,平均值:-3.8102,标准差:2.0455
SCAHGM：最优值: -10.5364,最差值:-5.1285,平均值:-8.8252,标准差:2.448

结果表明，SCAHGM较标准SCA具有更佳的寻优性能。

三、参考文献

[1] 王联国, 刘小娟. 基于采蜜机制的正弦余弦算法及其在机械优化设计中的应用[J]. 中国机械工程, 2021, 32(21): 2577-2589.

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