翻译英文文献----利用MAP-MRF模型改进三维网格分割算法

利用MAP-MRF模型改进三维网格分割算法

摘要:本文提出了一种改进三维网格分割算法性能的新方法。我们的方法以一个三维网格对象和一个分割算法作为输入。我们的方法使用马尔可夫随机场(MRF)估计，对于每个网格顶点，顶点位于分割边界的可能性。这是通过重复一个过程来完成的，在这个过程中，我们扰动3D网格数据，并使用提供的算法重新分割表面，然后分析所提供的分割边界的变化。我们的MRF使用这些分割作为数据来估计每个顶点是分割边界成员的可能性。在MRF中加入先验，鼓励解满足平滑条件。结合似然和先验来生成位于分割边界上的网格顶点的后验分布。然后将改进后的分割作为最大化一个后验分布的顶点集合，称为MAP-MRF估计。给出了2种不同输入算法和3种不同输入面的分割结果，并给出了分割改进的定量措施。该方法可以应用于许多分割算法，以改善结果，否则可能遭受分割过或欠分割。

1介绍

在计算机图形学中，一个物体的形状通常由一个三维网格模型来表示，该模型由三维(x, y, z)点(也称为顶点)、边(点对)和三角形面(点的三联体)组成。图1(a)显示了一个示例。三维网格分割算法是将一个三维曲面网格分割成有意义的部分。三维网格分割在计算机图形学中起着重要的作用，是各种三维应用中不可缺少的一步。例如三维对象配难、三维对象检索、三维对象数据库索引、三维表面压缩、三维变形建模和三维表面纹理映射。

目前有大量的分割方法[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，对比研究表明，虽然有些方法的分割效果较好，但对于各种各样的3D网格输入[6]，[7]，[8]，没有一种方法能够提供良好的分割效果。当选择的分割方法失败时，用户必须手动调整算法参数，以尝试得到一个“好的结果”。“好的结果”将对象划分为所需的语义组件。差的结果通常与不能生成足够的分区(称为分割不足)或生成过多分区(称为过度分割)的分割有关。图1(b)显示了一个三维表面网格过度分割的例子。过度分割的网格被分割成不需要的小块，如图1(b)中兔子肢体之间的小块。

不幸的是，手动调整分割参数以获得一个“好的结果”可能既耗时又具有挑战性。这可以归因于两件事:(1)分割算法往往有多个相互依赖的用户参数，这些参数往往没有有意义的单位，如“使λ变大，产生更大的分割区域”;(2)分割算法可以对输入参数的相对较小的变化输出显著不同的分割结果。为了解决这些问题，出现了额外的各种算法，它们对分割进行后处理，并试图提高输出。我们将后处理分割算法作为一种新的分割方法，本文描述了一种新的分割方法。

后处理分割方法(包括我们的)以原始的3D网格数据和分割结果作为输入。在这一点之后，我们提出的方法与其他方法(如[9]、[10])之间就有了很大的不同。具体来说，其他方法使用一种算法对三维网格数据进行新的分割，该算法在原始算法提供的分割和后处理分割算法建议的分割之间进行折衷。在这种情况下，先验分割算法的决策被用作数据，而后处理实质上是使用扩展的数据集(即前一个分割)作为输入的第二次分割。使用这种处理范式改进分割可能会有问题，因为作为后处理算法输入的分割标签不能反映与分配的标签相关的不确定性有多大。这可以不当的偏差分割标签，特别是那些高度不确定，当他们使用的后处理分割算法。

与现有的后处理分割算法相比，本文提出的方法不包括新的分割算法。相反，我们的方法将网格数据视为真实未知曲面的一个有噪声的实例生成的分割作为真实的期望分割的一个噪声版本。然后，我们应用一种被称为bootstrap方法的统计方法来模拟不同的三维网格实例，称为bootstrap样本[11]。每个bootstrap样本都是一个新的三维网格数据集合，这些数据被算法分割成多个部分。这将生成一组片段，每个片段对应一个bootstrap样本。我们使用马尔可夫随机场(MRF)[12]表示真正的分割边界的分布从bootstrap样本。使用[13]中描述的MAP- mrf框架，将这些边界的估计作为真实边界位置的最大后验概率(MAP)提供。由于我们的算法不会对数据进行重新处理，所以它不会受到其他后处理算法所经历的偏差的影响。相反，我们的算法本质上是寻求对输出分割边界(MRF)中的不确定性建模，然后选择这些边界最可能的实现作为改进的分割(MAP估计)。本文的结构如下:(§II)讨论了后处理分割方法的最新技术，(§III)描述了提出的方法，(§IV)展示了该方法的一些结果，包括对两种不同分割算法和三种不同输入网格的算法性能改进的测量。

图1:(a)一个三维网格模型，称为“斯坦福兔子”。(b)分割结果显示过度分割，如腿部和身体边界上的许多小区域所示。

2相关工作

近年来，为了获得良好的分割效果，人们提出了许多三维网格分割算法。方法通常使用几何信息，如顶点曲率、法线和二面角，将输入表面划分为一组语义上有意义的区域。分割算法的经典例子包括用于三维网格分割的分水岭算法[1]，它将著名的二维图像分水岭分割方法推广到利用曲面曲率对曲面进行分割。[4]中描述的区域合并算法是将相邻三角形的法线夹角小于特定阈值时合并到同一区域，从而实现3D网格划分。[2]和[8]中提出的方法是区域生长方法，形成分割区域生长从单一的“种子”三角形，其中生长只发生在表面方向，不超过从相邻三角形的表面法线计算的曲率阈值。[3]中描述的“山脊行走”分割方法基于模型顶点的表面曲率计算表面轮廓。

许多后处理技术已经被提出，以改善三维分割结果。[9]和[10]提出了减少分水岭算法中存在的过分割问题的方法。这两种方法都是针对分水岭变换产生的过分割问题的区域合并方法。前者通过比较相邻区域的深度实现区域合并，后者通过比较相邻区域的面积大小和边界长度提出区域合并算法。它们要么重新处理网格数据，要么重新分割网格表面，这在很大程度上使分割标签具有高度的不确定性。这些方法都是单一的分割方法，缺乏通用性;他们也没有试图解决细分不足的问题。

[9]中描述的方法解决了网格被过度分割的情况，通常是由分水岭分割算法[1]生成的。他们的方法衡量每个分割区域的显著性，并使用两个标准来决定何时应该合并相邻区域。第一个标准是区域大小，用于将小区域合并成大小较大的相邻区域。第二个准则用于选择与给定小区域合并的邻域。在这里，这个决定是通过合并小区域和与小区域共享边界长度最长的邻域来做出的。[10]中提出的方法也应用了一种方法来解决由[1]引起的网格过分割问题。这种方法定义了一个邻接图，分割中的每个区域是图中的一个节点，相邻区域由图的边连接起来。使用这个模型的归并准则相当于决定图的哪些边要被折叠，本质上是合并两个图节点，或者，等价地，分段区域。此方法适用于函数图曲面，即可用显式函数z = f(x, y)表示的曲面，其中z表示“高度”。根据相邻区域间的相对深度，对相邻区域进行合并。相对深度是指每段内局部最小值的高度差。区域从深度最小的区域开始迭代合并，直到创建用户提供的区域数量。

与其他方法相比，我们提出的方法有以下贡献:(1)我们提出了一个概率模型来表示由提供的分割算法计算出的分割边界位置的不确定性;(2)我们使用一个统计模型来改进现有的分割算法，而不是对3D网格数据进行第二次分割的典型方法。与其他后处理方法相比，我们着重于算法的改进本身，而不是实现一个新的重新细分使用现有的细分作为输入。这使我们的方法更少的偏见，因为它捕获了与分割标签相关的不确定性程度。

3方法

我们的方法使用一种被称为bootstrap的统计方法来生成被称为bootstrap样本的输入网格表面的替代版本。Bootstrap样本是通过使用噪声分布扰动三维网格数据生成的。每个bootstrap样本由提供的分割算法分割，马尔科夫随机场(MRF)处理分割网格的集合，以估计未知分割区域的分布。最后的分割是通过找到最可能位于真实分割边界上的顶点集合来获得的，这些顶点集合由MRF的边界分布来表示。以下步骤概述了评估过程:(1)通过扰动网格的顶点来生成N个不同的曲面网格，(2)在MRF节点对应网格顶点的网格上施加一个MRF，(3)利用N个分割提供的标签集估计后验分布的参数，(4)将改进后的分割作为位于分割边界的顶点的最大后验概率估计。这个过程如图2所示。

图2:显示技术过程的框图

A.分割边界的MRF模型

我们的MRF旨在将分割结果的集合转换为未知的真正分割边界的分布。这是通过将网格的每个顶点与站点的MRF站点变量标签的网站也可以是1,表示该网站的一员分割边界或1,表示该网站的一员,也就是说,地区。图3(a)显示了一个分割结果示例，图3(b)显示了表面边界，其中边界顶点为红色，区域顶点为蓝色。我们的分割改进算法为每个站点估计一个{1,1}标签，以估计分割的边界。令S = (X0，…， XN)表示(N + 1) MRF点的集合S，每个变量Xi,i属于[0, N]可以取标签集L ={1，−1}中的一个值。如前所述，每个3D曲面顶点都与MRF的一个位置相关联。设网格中的第i个顶点与随机变量Xi相关联。注意，S中随机变量的值集合指定了一个分割，或者等价地，指定了表面数据的标记，如图4(a)所示。我们的方法认识到，现实世界的情况下，测量的三维网格表面数据实际上是真实未知表面的噪声测量，通常通过物理测量(如三维激光扫描)获得。真实世界物体的数字表示包括许多噪声源，包括量化、采样效应和测量过程中的误差。因此，这些数据的分割也必须受到不确定性的影响。为此，我们通过在初始三维网格中引入随机扰动来驱动我们的过程，然后分析这些表面分割的变化，以提高分割结果。这是通过估计每个顶点作为边界顶点的后验概率，然后找到最大后验概率的曲面标记来完成的。

图3 (a)显示了带有区域的山脊行走分割结果;(b)以两个标签显示结果(1:边界，以红色显示;-1:无边界，用蓝色表示)

B. MRF分布的推导

本工作选择的MRF分布可以看作是一种特殊的分布，即Boltzman分布，用于根据贝叶斯定理(1)进行推论

P (X)标签的先验概率P (D | X)的条件概率密度函数D表面标签数据的集合,称为X的似然函数为D固定,和P (D)的证据或密度D时是一个常数。这里P (X|D)是给定标签收集数据D的标签X发生事件的后验概率。由于表面数据包含噪声，且标签具有平滑性，我们可以估计出最大后验概率P (X | D)。当标记的特定值X对应于后验概率分布的全局最大值时。这种用于在噪声数据中进行通用推理的方法，更具体地说，用于标记数据的方法在模式识别文献中很常见。我们将该模型用于分割边界估计是全新的，我们将通过将后验分布模型指定为可能性、先验和证据项的组合来描述指定的MRF如何属于该框架。

1) MAP-MRF估计:MRF的一般形式如式(2)[14]所示。

在(2)Z被称为配分函数，与(1)的证据项类似。Z的作用是使MRF分布归一化，使其积分在定义域上为1。变量T继承自统计物理学，T表示温度。我们的目的不需要这样的变量，所以这个变量被赋值为1。MRF的临界项是U(X|D)，称为能量函数;它结合了(1)的似然分布和先验分布的关键方面，并限制这些分布为指数分布(典型的类高斯分布)。

具体来说，贝叶斯定理(1)在MRF分布(2)中的应用需要对施加和P (X)∝e−U(X)的指数分布进行分解，或者，等价地，我们可以对(2)的能量进行分解，如方程(3)所示。

这种分解将贝叶斯定理与MRF的一种特定形式联系起来，使MRF分布P (X|D)与贝叶斯定理中的后验分布相对应。然后，像我们这样的估计方法可以被视为利用MRF提供的后验分布寻求最大未知变量的后验概率的方法，被称为MAP-MRF估计器[13]。

2)团势函数:(3)的能量函数进一步分解为团势函数(4)，由于能量被分解为两部分，我们也将团势分解为两组:团电位贡献于似能能VC1(Di|xi)，团电位贡献于先验能VC1−ring(xi, xNi)，其中Di为位点i的数据值

每个团势函数是在一个团上定义的，这个团是场内的站点集合，即随机变量。Cliques记为C, Cliques作为势能函数的下标，定义与每个clique势相关联的Cliques。小集团通常非常小(通常包含0,1或2个随机变量)和模型之间的随机依赖性给定的网站和网站在派系。常数β被包括在总能量内控制似然和先验的相对重要性，被称为相互作用系数。

团结构是MRF分布的基础，它赋予了分布以“马尔科夫”性质，限制了每个随机变量依赖于域内其他随机变量的选择数量，如式(5)[15]所示。

这里的S-{i}表示除考虑的站点索引为i外的所有站点的集合，xNi表示站点i邻域内的站点的集合，因为站点索引为Ni的变量集合具有相应的标号值xNi。这里xNi = {xi0 |i0属于Ni}， i导是一个社区站点。

应用程序C1,表示“网站”集团只包含第i个站点的索引我和C1−ring表示“1-ring”集团,其中包括所有网站的指标与网站我分享网优势。在这种情况下,如果该网站我与网站共享网优势指数j和k然后C1−ring= {j, k}。一般来说，我们把C1−ring上的第i个位点的邻域称为Ni。

站点(顶点)群势函数，我们用来建模一个给定的站点成为分割边界的一部分的可能性。由于团势值越大，对应的概率越低，所以当站点很可能在边界上时，势函数值应该越小(接近0)，当站点不太可能在分割边界上时，势函数值应该越大(接近1)。因此，网站团势如式(6)所示。

其中N为bootstrap分割的总数，Di为为站点计算的N个标签的集合Xi, dj为第j个bootstrap分割分配的标签值(1或-1)，Xi为我们假设为真的标签。本质上，当给定标签的值xi等于bootstrap分割数据D中观察到的所有标签时，这个势值就很低。

另一个第二个群势函数用于强制MRF的先验分布，并限制一个站点标签的概率，给定分配给在空间上接近该站点的邻居的标签的值。正如前面提到的，这些团是为共享网格边的网格上的每一对顶点而形成的。团势的具体形式如式(7)所示

在相邻网格(i, i0)被分配不同标签的情况下施加能量损失。最后，对边团势值进行归一化VC2(xi, xi0)通过和乘以1 card(Ni)对数据的重要性大致相等，其中card(Ni)表示邻居集Ni的基数(元素个数)。

3)实现和优化:为了应用我们的MRF，我们必须提供每个站点(网格顶点)的标签值集合。这是通过生成数据的替代潜在分割集合来完成的。目前，这是通过模拟三维网格测量数据的可行替代实例来实现的，也被称为bootstrap方法。这是通过向每个表面顶点添加高斯噪声，并向分割算法提供扰动网格来完成的，这通常会提供不同的分割结果。应用于每个顶点的噪声分布的平均值是该顶点的3D (x, y, z)位置，标准偏差设置为输入网格边缘的平均边缘长度的百分比。对标准差的具体值进行调整，以确保分割算法的边界发生充分的变化，从而捕捉到分割边界中的不确定性。使用提供的分割算法对每个bootstrap样本(扰动三维网格)进行分割，由该算法生成的标签用于定义每个站点潜在函数VC1(D|xi)的数据D。

我们使用[13]中描述的ICM(迭代条件模式)算法来搜索最大化后向分布的网格标记。该优化算法使用迭代的“改进策略”，改变分割标记，以增加每次迭代后的后验概率。将初始标记作为分割算法未受噪声干扰前的标记。ICM算法继续寻找增加后验概率的标记，直到概率无法得到实质性的提高，此时计算出的标记被视为“改进的分割”。

四、结果

我们使用Princeton Benchmark[16]来评估我们的方法的性能。具体来说，我们将MAP-MRF方法应用于脊行走[3]和分水岭[1]分割算法，并从Princeton Shape Benchmark数据库[17]中分割出一组网格对象。为了实现自助法，我们在网格表面加入高斯噪声，并对扰动表面进行100次分割，即N = 100。通过运行map - mrf方法，我们得到了分割边界的后验概率分布，我们将其直观地表示为叠加在网格表面上的彩色地图(如图4所示)。

两种分割算法应用MAP-MRF方法后的概率分布。

红色到蓝色分别代表概率值1和0，红色表示该顶点更有可能是边界顶点。对网格数据进行扰动的高斯噪声会显著影响边界分布的形式，如图4所示。选择高斯噪声的标准差σ值，这样得到的边界分布有明确的峰值(表示为规则和光滑的红色区域)。σ的值是网格的平均边缘长度d的百分比，它的值在0.05 * d到d之间。图4显示了不同噪声标准偏差值产生的分割边界概率分布。对于熊模型，我们可以看出σ = 7 20 * d的表面产生了一个最稳定的边界分布。在图5中，位于熊肩和杯柄的补丁被红色的边界曲线所代替。对于每个三维网格对象，当达到最稳定的边界分布时，采用区域增长的方法，使后验分布最大化，最终产生没有过分割问题的改进分割结果。为了定量地衡量这种改进，我们选择熊模型作为例子来展示测量结果。使用如图6所示的4个指标[16]来评价山脊行走和分水岭算法的性能以及使用MAP-MRF方法后相应的改进性能。在每个直方图中，最后两列表示算法以及与MAP-MRF相结合的算法。如图所示，本文方法提高了两种算法的分割结果。

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