3.1 % 运算符

求余操作c = a%b，要求a,b必须是整型，不能是浮点数。且除数b不能为零。但是根据定义，余数c的符号和被除数a相同，当a为负数的时候，余数c为负数。这经常不满足我们的使用要求，一般数论要求余数c的范围在【0，b-1】。很明显我们可以通过c+b满足这个要求，但是，这时整除的余数0就变成了b，所以可以再次进行求余操作。即：

r1 = (r0 + b)%b //加余求余

两个公式：

(a * b) % c = (a%c * b%c) % c  //相乘再求余，等于求余，相乘再求余
(a + b) % c = (a%c + b%c) % c  //相加再求余，等于求余，相加再求余

3.2 数位拆解

思路：

x = (a*1000 + b*100 + c*10 + d)
d = x%10;
c = (x/10)%10;    //整除除法，只会保留整数部分
b = (x/100)%10;
a = (x/1000)%10;

举例：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{int x = 5678;int d = x % 10;int c = (x / 10) % 10;    //整除除法，只会保留整数部分int b = (x / 100) % 10;int a = (x / 1000) % 10;cout << a << b << c << d << endl;// 分别得到 5，6，7，8return 0;
}

输入123,45，输出54。数字左对齐后求和：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{int a, b;while (scanf_s("%d%d", &a, &b) != EOF){int buf1[20], buf2[20], size1 = 0, size2 = 0;//第一个数while (a != 0){buf1[size1++] = a % 10; //取个位a /= 10;                  //数值缩小10倍}//第二个数while (b != 0){buf2[size2++] = b % 10; //取个位b /= 10;                   //数值缩小10倍}//计算结果int ans=0;for (int i = 0; i < size1; i++){for (int j = 0; j < size2; j++){ans += buf1[i] * buf2[j];}}printf("%d\n", ans);return 0;}
}

也可以考虑把输入的数字放入字符数组，然后通过利用ascii码，转换为数字。

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int main()
{char a[11], b[11];cin >> a >> b;//输入两个数int ans = 0;for (int i = 0; a[i]!=0; i++){for (int j = 0; b[j] != 0; j++){ans += (a[i] -'0')* (b[j]-'0');//每个字符转换为数字进行相乘求和}}printf("%d\n", ans);return 0;
}

3.3 进制转换

m进制转换成n进制：

1.m 进制转换成十进制：依次计算各个数位的数字与该位权重的积（第i的权重为k^(i-1)），然后依次累加。
2.十进制转换成 n 进制：不断地对十进制数进行求余（对n），求商（除以n）
例：十进制数转换成m进制

do{ans[size++] = a%m;a/ = m;
}while(a!=0)

3.4 最大公约数（GCD）

使用欧几里得算法：
若a,b全为零，则他们的最大公约数不存在；若a,b其中之一为零，则最大公约数为a，b中的非零数；若都不为零，则可以使新a=b,b=a%b，重复该过程，直到其中一个为零。

# include<stdio.h>
int gcd(int  a,int b){if(b==0) return a;else return gcd(b,a%b);
}

3.5 最小公倍数（LCM）

结论：a,b两数的最小公倍数是两数乘积除以他们的最大公约数。所以求得最大公约数即求得最小公倍数。

3.6 素数筛法

 int prime[10000];   //保存素数int primeSize;        //素数计数bool mark[10001]; //标记for (int i = 2; i < 10000; i++)               //  遍历{ if (mark[i] == true) continue;            //  跳过已标记为合数的数prime[primeSize++] = i;                    //  保存素数for (int j  = i*i; j < 10000; j+=i)       //  标记素数乘积得到的合数（合数都是素数乘积得到）{mark[j] = true;}}

3.7 分解素因数

即分解数n的素数和对应的指数。
方法：先找出能整除的素数，再求每个素数的指数。只需要先找出sqrt(n)的素数就行。

 int prime[100001];  // 保存有100000以内的素数int primeSize;     // 素数个数int n;               // (1,10^9)int ansPrime[30];    // 保存素因数int ansSize;        // 保存素因数个数int ansNum[30];       // 保存素因数对应的指数for (int i = 0; i < primeSize; i++)      // 遍历每个素数{if (n%prime[i] == 0) {              // 对于每个素因数ansPrime[ansSize] = prime[i];ansNum[ansSize] = 0;           // 指数初始化为0while (n%prime[i] == 0)         // 指数计数{ansNum[ansSize]++;n /= prime[i];}ansSize++;if (n == 1) break;                // 分解完成}}if (n != 1) {                         // 若100000之内素数不够，则还有其他数，且指数只能为1ansPrime[ansSize] = n;ansNum[ansSize++] = 1;}

3.8 二分求幂

非递归算法：考虑将指数使用二进制表示，若对应位是1则累乘。

void main(void)
{int a, b;int ans = 1;cin >> a >> b;while (b != 0){if (b % 2 == 1)   //当二进制位k位为1时，需要累乘a的2^k次方，然后用ans保存{ans *= a;}a *= a;        // 位数在移动，指数也在增加b /= 2;      //每次除以2，转换成二进制位}cout << ans;
}

递归算法：

double power(double a,unsigned int n)
{if(n==0)return 1;if(n==1)return a;double result=power(a,b>>1);//n>>1即n/2 result*=result;  // 如果n是偶数，则求得结果if(n & 0x1==1) //a & 0x1相当于a%2, 如果n是奇数，则再次乘底数result*=a;return result;
}

3.9 高精度整数

高精度整数加法：需要使用结构体保存若干位（例如4位），每次取4位进行计算，分别计算结果和进位，再依次进行计算。需要重写保存和重载运算符。

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