美团杯2020 - 平行四边形(原根)

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题目大意：

蒜斜非常喜欢下围棋。自从AlphaOg面世以来，他就立志一定要研究出AlphaOg的破绽。终于，他发现当AlphaOg遇到一种特殊局面后，它的神经网络会自动输出“投降”！

随着进一步的研究，蒜斜发现这种局面有着更一般的特性，不仅仅局限于固定大小棋盘。具体来说，当棋盘大小是 nn（n+1n+1 是一个质数）且棋盘上恰好有 nn 个棋子的时候，如果这些棋子的位置满足下列条件，那么 AlphaOg 就会直接投降。假设第 ii 个棋子的位置是点 PiPi，处在第 xixi 行第 yiyi 列，那么这些坐标需要满足：

x1 至 xn 是 1−n 的排列。
y1 至 yn 是 1−n 的排列。
这些点之间不构成平行四边形（包括退化）。即对于任何两个不完全相同的棋子对 (Pa,Pb),(Pc,Pd)（允许它们之间共用至多一个棋子），线段 PaPb 与 PcPd 要么长度不同，要么所在的直线不平行且不重合。

凭借这项发现，蒜斜荣获了“北大算协吉祥物”的称号。如果你也能找出一种合法方案，蒜斜的称号就是你的了！

输入格式

输入第一行包含一个整数 t(1≤t≤10)，表示数据组数。

对于每组数据，输入第一行包含一个整数 n(4≤n≤1000)，保证 n+1 是一个质数。

输出格式

对于每组数据，如果无解输出一行一个整数 -1。否则输出 nn 行，每行两个整数 (xi,yi)(1≤xi≤n,1≤yi≤n)，表示第 ii 个棋子的坐标。如果坐标方案不唯一，你只需要输出任意一种。

样例一

input

1
4

output

限制与约定

Small Task: n≤12n≤12。

Large Task: n≤1000n≤1000。

时间限制：1s1s

空间限制：512MB

题目分析：首先需要知道原根的定义：

假设一个数g是P的原根，那么g^i mod P的结果两两不同，且有 1<g<P，0<i<P，归根到底就是g^(P-1) = 1 (mod P)当且仅当指数为P-1的时候成立.(这里P是素数)。（百度百科）

换句话说，质数 P 一定有原根

既然题目提示了 n + 1 是一个质数，结合到原根上去，不难发现 g ^ i % ( n + 1 ) 的集合符合 1 ~ n 的一个排列

这样情况一和情况二都满足了，只需要证明情况三也满足就ok了

任取四个点 A( a , g^a ) , B( b , g^b ) , C( c , g^c ) , D( d , g^d ) ，如果四个点想要构成平行四边形的话，那么需要同时满足下面两个条件，且共用的点至多有一个：假设 b < a 且 d < c

a - b == c - d
g^a - g^b == g^c - g^d

当 a - b == c - d 时，g^a - g^b = g^b * ( g^( a - b ) - 1 ) ，同理 g^c - g^d = g^d * ( g^( c - d ) - 1 )，因为 a - b == c - d ，所以 g^b * ( g^( a - b ) - 1 ) 与 g^d * ( g^( c - d ) - 1 ) 中的 g^( a - b ) == g^( c - d ) ，所以将括号约分之后可以得到 g^b == g^d，再带回原式 g^a - g^b == g^c - g^d 中，可以得出 g^a == g^c，根据原根的定义可知，此时 b == d 且 a == c ，也就是点 A 与点 C 重合，且点 B 与点 D 重合，无法做到既是两边平行且相等，同时至多只有一个点共用，所以情况 3 成立

综上，只需要让 x 坐标为 i ，y 坐标为 g^i%P 即可，至于原根 g ，可以根据其定义暴力求解

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ull;const int inf=0x3f3f3f3f;const int N=1e3+100;bool vis[N];int find_root(int mod)
{for(int i=2;i<mod;i++){memset(vis,false,sizeof(vis));bool flag=true;int x=i;for(int j=1;j<=mod-1;j++){if(vis[x]){flag=false;break;}vis[x]=true;x=x*i%mod;}if(flag)return i;}
}int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("input.txt","r",stdin);
//  freopen("output.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);int w;cin>>w;while(w--){int n;scanf("%d",&n);int mod=n+1;int rt=find_root(n+1);int x=rt;for(int i=1;i<=n;i++){printf("%d %d\n",i,x);x=x*rt%mod;}}return 0;
}