1.闲话放在前面扯

什么是频域？从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。

在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。所以我们眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。

2.严密的数学推导

我们知道，在离散傅里叶级数（DFS）中，离散时间周期序列在时域是离散的n ，其频谱是离散频率周期序列，在频域也是离散的k，理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。但由于其在时域和频域都是周期序列，所以都是无限长序列。无限长序列在计算机运算仍然是无法实现。为此必须取有限长序列来建立其时域离散和频域离散的对应关系。

DFS的主值序列：

我们知道，离散时间周期序列是一个无限长序列，其傅立叶级数展开式为

可以看出时间点序号n 是以N为周期的，如果只取其一个周期，称之为的主值序列：

主值序列x（n）就是一个长度为N的有限长离散时间序列。同理，的DFS也是一个无限长序列，即傅立叶系数：

也可以看出频率点序号k 也是以N为周期的，如果只取其一个周期，称之为的主值序列：

主值序列X（k）是一个长度为N的有限长离散频率序列。可见，离散时间周期序列在时域和频域的主值序列，均为有限长离散序列。且主值序列的长度均为N（即n，k＝0，1，2，…，N－1）。

离散傅里叶变换：

在离散傅立叶级数（DFS）中，取其时域和频域的主值序列，变换仍然成立。这就是离散傅里叶变换（DFT），即：

和其逆变换（IDFT）：

可见离散傅里叶变换（DFT）只不过是特殊的离散傅立叶级数（DFS），就是对其时域和频域都仅取主值序列。

离散傅立叶级数（DFS）中的无限长序列和都是以N为周期的周期序列，所以在计算离散时间周期序列及其频谱时，可以利用DFS的周期性，只需要在时域和频域各取一个主值序列，用计算机各计算一个周期中的N个样值，最后将所得的主值序列x（n）和X（k）进行周期延拓，即可得到原来的无限长序列和。

由DFT的导入过程可以发现，DFT不仅可以解决无限长周期序列的计算机运算问题，而且更可以解决有限长序列的计算机运算问题。事实上，对于有限长离散序列，总可以把时域和频域的变换区间（序列长度）均取为N（包括适当数量的补0点），通常把N称之为等间隔采样点数，我们可以把这个N点的变换区间视为某个周期序列的一个主值序列，直接利用DFT的定义计算其N点变换。

3.代表性的实例

1.单纯的从计算角度出发。

假设有一个序列长度N=4，具体的x(n)={1，2，-1，3}，n=0，1，2，3。

首先，由N=4得到：

$W=e^{-j\frac{2\pi}{4}}=cos(\frac{\pi}{2})-j*sin(\frac{\pi}{2})=-j$

于是有：

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} X(0)\\ X(1) \\ X(2) \\ X(3) \end{bmatrix} & =\begin{bmatrix} W^0 &W^0 &W^0 &W^0 \\ W^0 &W^1 &W^2 &W^3 \\ W^0 & W^2 &W^4 &W^6 \\ W^0 &W^3 &W^6 &W^9 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x(0)\\x(1) \\ x(2) \\ x(3) \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 1 &-j &-1 &j \\ 1 &-1 &1 &-1 \\ 1 &j &-1 &-j \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ -1\\ 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5\\ 2+j\\ -5\\ 2-j \end{bmatrix} \end{aligned}$

反变换：

$\begin{aligned} x(n)&=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} W^0 &W^0 &W^0 &W^0 \\ W^0 &W^{-1} &W^{-2} &W^{-3} \\ W^0 &W^{-2} &W^{-4} &W^{-6} \\ W^0 &W^{-3} &W^{-6} &W^{-9} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5\\ 2+j\\ -5\\ 2-j \end{bmatrix}\\ &=\frac{1}{4}\begin{bmatrix} 1 &1 &1 &1 \\ 1 &j &-1 &-j \\ 1 &-1 &1 &-1 \\ 1 &1 &-j &j \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5\\ 2+j\\ -5\\ 2-j \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ -1\\ 3 \end{bmatrix} \end{aligned}$

2.补零，增加有限长序列的长度是否能够提高物理分辨率？

有效长度N1＝4的单位矩形序列:

如下图所示：

如果变换区间等间隔采样点数N＝16（注意：可以补零延伸为序列有效长度N1的整数倍），则其16点的DFT频谱为

其16点DFT的幅度频谱图如下：

当然，如果取变换区间N＝32，即在有限长离散时间序列尾部补零更多位，则32点的DFT谱线更密。这是因为增长观察时间，可提高频率分辨率。但DFT频谱的包络，始终与非周期序列的离散时间傅立叶变换DTFT的连续频谱曲线一致。这又表明DFT是DTFT连续频谱的离散化。

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