BZOJ 1020 安全的航线flight

Description

在设计航线的时候，安全是一个很重要的问题。首先，最重要的是应采取一切措施确保飞行不会发生任何事故，但同时也需要做好最坏的打算，一旦事故发生，就要确保乘客有尽量高的生还几率。当飞机迫降到海上的时候，最近的陆地就是一个关键的因素。航线中最危险的地方就是距离最近的陆地最远的地方，我们称这种点为这条航线“孤地点”。孤地点到最近陆地的距离被称为“孤地距离”。作为航空公司的高级顾问，你接受的第一个任务就是尽量找出一条航线的孤地点，并计算这条航线的孤地距离。为了简化问题，我们认为地图是一个二维平面，陆地可以用多边形近似，飞行线路为一条折线。航线的起点和终点都在陆地上，但中间的转折点是可能在海上（如下图所示，方格标示出了孤地点）。

Input

输入的第一行包括两个整数C和N（1≤C≤20，2≤N≤20），分别代表陆地的数目的航线的转折点的数目。接下来有N行，每行有两个整数x,y。(x,y)表示一个航线转折点的坐标，第一个转折点为航线的起点，最后一个转折点为航线的终点。接下来的输入将用来描述C块大陆。每块输入由一个正整数M开始（M≤30），M表示多边形的顶点个数，接下来的M行，每行会包含两个整数x,y，(x,y)表示多边形的一个顶点坐标，我们保证这些顶点以顺时针或逆时针给出了该多边形的闭包，不会出现某些边相交的情况。此外我们也保证输入数据中任何两块大陆不会相交。输入的所有坐标将保证在-10000到10000的范围之间。

Output

输出一个浮点数，表示航线的孤地距离，数据保留2位小数。

Sample Input

1 2
-9 -6
5 1
3
0 16
-16 -12
17 -6

Sample Output

0.00

吐槽：不得不说这种计算几何题TTM恶心了，对着数据(70个点用geogebra一一手打)调了3天。功夫不负有心人，还是切掉了。感谢我们学校的大神犇莫涛学长的算法，不然像我这种蒟蒻恐怕一辈子都写不出二分答案的正解。

为了表示膜拜，我将我的做法口述一遍吧(其实就是莫涛学长在论文上写的那种迭代)，忽然间感觉自己和ydc比起来写得好丑。

先将所有不在多边形内部的线段加入队列中；
取出队首线段，找出与左端点最近的多边形上的点p1，右端点最近的多边形上的点p2。ans = max(ans,dis(p1,左端点),dis(p2,右端点))；
在线段上二分出一个点p，使得dis(p,p1) == dis(p,p2)；
若dis(p,p1) < ans，continue；否则，将线段二等分加入队列中；
重复2，3,4直到队列为空；

算法(减枝)就是这样。为什么这样是对的呢？我们证明一下：

我们现在要讨论的就是这个算法的正确性

现在我们有一条线段和对应的p1和p2，分别是左端点最近的点和右端点最近的点

有三种情况

然后我们发现线段上的点到自己最近点的距离不会超过max(dis(p1,p),dis(a,p1),(b,p2))（a，b分别为线段的左右端点）

所以我们的删除操作是对的，我们删除的都是不会更新答案的线段，就像ydc说的一样，这个就像是搜索剪枝

(注：上述证明转自:http://www.cnblogs.com/Randolph87/p/3642917.html)

最后再贴一份自己丑丑的代码：

  1 #include<algorithm>
  2 #include<cmath>
  3 #include<queue>
  4 #include<cstdio>
  5 #include<cstdlib>
  6 #include<iostream>
  7 using namespace std;
  8
  9 #define rhl 10001
 10 #define esp (1e-4)
 11 #define maxn (30)
 12 #define maxc (30)
 13 #define maxm (40)
 14 int tot,n,c,have[maxc]; double ans;
 15
 16 inline double equal(double a,double b) { return fabs(a-b) < esp; }
 17
 18 inline bool dd(double a,double b) { if (equal(a,b)) return true; return a >= b; }  //>=
 19
 20 inline bool xd(double a,double b) { if (equal(a,b)) return true; return a <= b; }  //<=
 21
 22 struct NODE
 23 {
 24     double x,y;
 25     friend inline bool operator == (NODE a,NODE b) { return equal(a.x,b.x)&&equal(a.y,b.y); }
 26     friend inline bool operator < (NODE a,NODE b)
 27     {
 28         if (a.x != b.x) return a.x < b.x;
 29         else return a.y < b.y;
 30     }
 31     inline NODE ra()
 32     {
 33         int xx,yy;
 34         do xx = rand()%rhl,yy = rand()%rhl;
 35         while (equal(1.0*xx,x)||equal(1.0*yy,y));
 36         return (NODE) {1.0*xx,1.0*yy};
 37     }
 38     inline void read() { scanf("%lf %lf",&x,&y); }
 39 }pol[maxc][maxm],bac[maxc*maxm];
 40 struct LINE
 41 {
 42     double a,b,c;
 43     friend inline bool operator ==(LINE l1,LINE l2) { return equal(l1.a*l2.c,l2.a*l1.c); }
 44     inline LINE vert(NODE p) { return (LINE) {b,-a,a*p.y-b*p.x}; }
 45     inline bool on(NODE p) { return equal(0,a*p.x+b*p.y+c); }
 46 };
 47 struct SEG{
 48     NODE a,b;
 49     inline NODE MID() { return (NODE) {(a.x+b.x)/2,(a.y + b.y)/2}; }
 50     inline bool exist() { return !(a == b); }
 51     inline LINE extend() { return (LINE) {a.y-b.y,b.x-a.x,b.y*(a.x-b.x)-b.x*(a.y-b.y)}; }
 52     inline bool on(NODE p)
 53     {
 54         if (p == a) return true;
 55         if (p == b) return true;
 56         return (dd(p.x,min(a.x,b.x))&xd(p.x,max(a.x,b.x)))&&(dd(p.y,min(a.y,b.y))&xd(p.y,max(a.y,b.y)));
 57     }
 58 }temp[maxn];
 59 queue <SEG> team;
 60
 61 inline bool para(LINE l1,LINE l2) { return equal(l1.a * l2.b,l1.b * l2.a); }
 62
 63 inline double qua(double a) { return a * a; }
 64
 65 inline double dis(NODE a,NODE b) { return sqrt(qua(a.x - b.x)+qua(a.y - b.y)); }
 66
 67 inline NODE cp(LINE l1,LINE l2)
 68 {
 69     double a1 = l1.a,b1 = l1.b,c1 = l1.c;
 70     double a2 = l2.a,b2 = l2.b,c2 = l2.c;
 71     double ry = (c2*a1-c1*a2)/(b1*a2-b2*a1),rx = (c1*b2-c2*b1)/(b1*a2-b2*a1);
 72     return (NODE) {rx,ry};
 73 }
 74
 75 inline void cross(SEG s,int now)
 76 {
 77     LINE l = s.extend(),l1; SEG t; NODE p; NODE tt[maxm];
 78     int cnt = 0;
 79     for (int i = 1;i <= have[now];++i)
 80     {
 81         t = (SEG) {pol[now][i],pol[now][i-1]};
 82         l1 = t.extend();
 83         if (para(l,l1))
 84         {
 85             if (l == l1)
 86             {
 87                 if (s.on(t.a)) tt[++cnt] = t.a;
 88                 if (s.on(t.b)) tt[++cnt] = t.b;
 89             }
 90             continue;
 91         }
 92         p = cp(l,l1);
 93         if (t.on(p) && s.on(p))
 94             tt[++cnt] = p;
 95     }
 96     sort(tt+1,tt+cnt+1);
 97     for (int i = 1;i <= cnt;++i) bac[++tot] = tt[i];
 98 }
 99
100 inline NODE find(NODE p)
101 {
102     NODE ret,q; LINE l1,l2; SEG s; double best = 1e9,len;
103     for (int i = 1;i <= c;++i)
104         for (int j = 1;j <= have[i];++j)
105         {
106             s = (SEG) {pol[i][j],pol[i][j-1]};
107             l1 = s.extend();
108             l2 = l1.vert(p);
109             q = cp(l1,l2);
110             if (s.on(q))
111             {
112                 len = dis(p,q);
113                 if (best > len) ret = q,best = len;
114             }
115             else
116             {
117                 if (dis(p,s.a) < dis(p,s.b)) q = s.a;
118                 else q = s.b;
119                 len = dis(p,q);
120                 if (best > len) ret = q,best = len;
121             }
122         }
123     return ret;
124 }
125
126 inline bool in(NODE p)
127 {
128     NODE q = p.ra(); SEG s = (SEG) {p,q},t; LINE l = s.extend(),l1; int cnt;
129     for (int i = 1;i <= c;++i)
130     {
131         cnt = 0;
132         for (int j = 1;j <= have[i];++j)
133         {
134             t = (SEG) {pol[i][j],pol[i][j-1]};
135             if ((t.extend()).on(p)&&t.on(p)) return false;
136             l1 = t.extend();
137             if (para(l,l1)) continue;
138             q = cp(l,l1);
139             if (dd(q.x,p.x)&&t.on(q)) ++cnt;
140         }
141         if (cnt & 1) return true;
142     }
143     return false;
144 }
145
146 inline void init()
147 {
148     for (int i = 1;i < n;++i)
149     {
150         tot = 0;
151         if (!(temp[i].a < temp[i].b)) swap(temp[i].a,temp[i].b);
152         for (int j = 1;j <= c;++j)
153             cross(temp[i],j);
154         if (!in(temp[i].a)) bac[++tot] = temp[i].a;
155         if (!in(temp[i].b)) bac[++tot] = temp[i].b;
156         sort(bac+1,bac+tot+1);
157         for (int j = 1;j < tot;j++)
158             if (!in((SEG){bac[j],bac[j+1]}.MID()))
159                 team.push((SEG){bac[j],bac[j+1]});
160      }
161 }
162
163 inline void work()
164 {
165     SEG now; NODE mid,p1,p2,l,r; double ret;
166     while (!team.empty())
167     {
168         now = team.front(); team.pop();
169         if (!now.exist()) continue;
170         p1 = find(now.a); p2 = find(now.b);
171         l = now.a,r = now.b;
172         while (!(l == r))
173         {
174             mid = ((SEG){l,r}).MID();
175             if (dis(p1,mid) > dis(p2,mid)) r = mid;
176             else l = mid;
177         }
178         ret = dis(r,p1);
179         ans = max(max(dis(now.a,p1),dis(now.b,p2)),ans);
180         if (ret-esp < ans) continue;
181         mid = now.MID();
182         team.push((SEG){now.a,mid}),team.push((SEG){mid,now.b});
183     }
184 }
185
186 int main()
187 {
188     srand(233);
189     ans = 0;
190     scanf("%d %d ",&c,&n);
191     NODE p1,p2; p1.read();
192     for (int i = 2;i <= n;++i)
193     {
194         p2.read(); temp[i-1] = (SEG) {p1,p2};
195         p1 = p2;
196     }
197     for (int i = 1;i <= c;++i)
198     {
199         scanf("%d ",have+i);
200         for (int j = 1;j <= have[i];++j) pol[i][j].read();
201         pol[i][0] = pol[i][have[i]];
202     }
203     init();
204     work();
205     printf("%.2lf\n",ans);
206     fclose(stdin); fclose(stdout);
207     return 0;
208 }

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