背包九讲 ----- 01背包问题模版

01背包问题

题意

给定N件物品和一个容量为V的背包
每件物品具有价值和体积两个属性，且每件物品选择次数小于等于1
计算出背包所能够存放的最大价值

题解（二维dp）

用 f[i][j]f[i][j]f[i][j] 表示只看前 iii 个物品，背包容积为 jjj 时，背包能存放的最大价值
那么 ans=ans=ans=maxmaxmax { f[N][0f[N][0f[N][0 ~ V]V]V] }
用 v[i]v[i]v[i] 和 w[i]w[i]w[i] 分别表示第 iii 个物品的体积和价值
f[i][j]f[i][j]f[i][j] 的状态转移：
- 当没有选到第 iii 个物品进背包时：此时看前 iii 个物品且背包容积为 jjj 时背包能存放的最大价值等价于看前 i−1i-1i−1 个物品且背包容积为 jjj 时背包能存放的最大价值，即 f[i][j]=f[i−1][j]f[i][j]=f[i - 1][j]f[i][j]=f[i−1][j]
- 当选到了第 iii 个物品进背包时：此时看前 iii 个物品且背包容积为 jjj 时背包能存放的最大价值等价于看前 i−1i-1i−1 个物品且背包容积为 j−v[i]j-v[i]j−v[i] (v[i]为背包中已经占用的体积) 时背包能存放的最大价值加上 w[i]w[i]w[i] (背包中已经存在的物品的价值) ，即 f[i][j]=f[i−1][j−v[i]]+w[i]f[i][j]=f[i-1][j - v[i]] + w[i]f[i][j]=f[i−1][j−v[i]]+w[i]
- f[i][j]=f[i][j]=f[i][j]=上面两种状态取值最大的那一个
复杂度分析：
- 时间复杂度：遍历了一个二维数组 N(mn)N(mn)N(mn)
- 空间复杂度：一个二维数组 N(mn)N(mn)N(mn)

import java.util.Scanner;
public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);// 物品数量int N = scanner.nextInt();// 背包容积int V = scanner.nextInt();// 记录每个物品的体积和价值int[] v = new int[N + 1], w = new int[N + 1];// 输入数据for (int i = 1; i <= N; i++) {v[i] = scanner.nextInt();w[i] = scanner.nextInt();}// 下面是二维dp// f[i][j] 表示只看前 i 个物品，背包容积为 j 时，背包能存放的最大价值int[][] f = new int[N + 1][V + 1];// f[i][j] 数据初始化f[0][0] = 0;// 这一步可以省略// f[i][j] 状态转移for (int i = 1; i <= N; i++) {for (int j = 0; j <= V; j++) {// 当没有选到第 i 个物品进背包时f[i][j] = f[i - 1][j];// 当选到了第 i 个物品进背包时if (j >= v[i]) f[i][j] = Math.max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);}}int ans = 0;//  ans = max { f[N][0 ~ V] }for (int j = 0; j <= V; j++)ans = Math.max(ans, f[N][j]);System.out.println(ans);}
}

优化

import java.util.Scanner;
public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);// 物品数量int N = scanner.nextInt();// 背包容积int V = scanner.nextInt();// 记录每个物品的体积和价值int[] v = new int[N + 1], w = new int[N + 1];// 输入数据for (int i = 1; i <= N; i++) {v[i] = scanner.nextInt();w[i] = scanner.nextInt();}int[] f = new int[V + 1];for (int i = 1; i <= N; i++) {for (int j = V; j >= v[i]; j--) {f[j] = Math.max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);}}System.out.println(f[V]);}
}

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