多维标度法MDS古典解的证明与R语言实现
文章目录
- 写在前面
- MDS概念与基本思想
- 一些基本概念与定义
- 距离阵
- 欧式型距离阵
- 欧式型距离阵判定定理
- 证明★\bigstar★
- 必要性
- 充分性
- MDS古典解计算步骤
- R语言实现
- 方法一：使用内置的`cmdscale()`函数
- 方法二：使用自定义函数
- 参考文献
写在前面
最近忙于作业一直没有更新，后续会慢慢补上。这次写一下前一阶段学习的多维标度 (Multi-Dimensional Scaling, MDS) 分析的古典解部分，包括欧式型距离矩阵判定定理的证明以及利用R语言进行MDS的古典解实现。
MDS概念与基本思想
MDS是以空间分布的形式表现对象之间相似性或亲疏关系的一种多元数据分析方法，其基本思想是将高维坐标中的点投影到低维空间中，保持点彼此之间的相似性尽可能不变。其结果主要是偏好图(又称多维标度图)等。
一些基本概念与定义
距离阵
一个n×nn\times nn×n矩阵D=(dij)D=(d_{ij})D=(dij)，若满足 DT=DD^T=DDT=D, dii=0\,d_{ii}=0dii=0, dij⩾0\,d_{ij}\geqslant0dij⩾0, (i,j=1,2,⋯,n;i≠j)\,(i,\,j=1,\,2,\,\cdots,\,n;\,i\neq j)(i,j=1,2,⋯,n;i=j)，则称 D\!D\!D 为距离阵。
欧式型距离阵
一个距离阵D=(dij)D=(d_{ij})D=(dij)称为欧式型的，若存在某个正整数ppp及ppp维空间Rp\mathbb{R}^pRp中的nnn个点 x1,⋯,xnx_1,\,\cdots,\,x_nx1,⋯,xn, 使得
dij2=(xi−xj)′(xi−xj),其中，令A=(aij),aij=−12dij2,B=H′AH,H=In−1n1n1n′.\begin{aligned} d^2_{ij} &= (x_i-x_j)'(x_i-x_j), \\ \text{其中，令}\\ A &= (a_{ij}),\ \ \,\ a_{ij}=-\frac12d_{ij}^2, \\ B &= H'AH,\ H=I_n-\frac1n1_n1'_n. \\ \end{aligned} dij2其中，令AB=(xi−xj)′(xi−xj),=(aij), aij=−21dij2,=H′AH, H=In−n11n1n′.
欧式型距离阵判定定理
一个n×nn\times nn×n的距离阵DDD是欧式型的充要条件是:B⩾0B\geqslant0B⩾0.
证明★\bigstar★
必要性
设距离阵DDD是欧式型的，则由欧式型距离阵的定义可知，存在x1,⋯,xn∈Rpx_1,\,\cdots,\,x_n\in\mathbb{R}^px1,⋯,xn∈Rp，使得
dij2=−2aij=(xi−xj)′(xi−xj),d_{ij}^2=-2a_{ij}=(x_i-x_j)'(x_i-x_j), dij2=−2aij=(xi−xj)′(xi−xj),
由B=H′AH,H=In−1n1n1n′B = H'AH,\ H=I_n-\frac1n\mathbf{1}_n\mathbf{1}'_nB=H′AH, H=In−n11n1n′可得：
B=H′AH=A−1nAJ−1nJA+1n2JAJ,B=H'AH=A-\dfrac1nAJ-\dfrac1nJA+\dfrac1{n^2}JAJ, B=H′AH=A−n1AJ−n1JA+n21JAJ,
上式中，J=1n1n′J=\mathbf{1}_n\mathbf{1}_n'J=1n1n′。并注意到
1nAJ=[aˉ1.aˉ2.⋮aˉn.]1n′,1nJA=1n(aˉ.1,aˉ.2,⋯,aˉ.n),1n2JAJ=aˉ..1n1n′,\dfrac1nAJ=\begin{bmatrix} \bar{a}_{1.}\\ \bar{a}_{2.}\\ \vdots\\ \bar{a}_{n.}\\ \end{bmatrix} \mathbf{1}_n',\ \dfrac1nJA=\mathbf{1}_n(\bar{a}_{.1},\,\bar{a}_{.2},\,\cdots,\,\bar{a}_{.n}),\ \dfrac1{n^2}JAJ=\bar{a}{..}\mathbf{1}_n\mathbf{1}_n', n1AJ=⎣⎢⎢⎢⎡aˉ1.aˉ2.⋮aˉn.⎦⎥⎥⎥⎤1n′, n1JA=1n(aˉ.1,aˉ.2,⋯,aˉ.n), n21JAJ=aˉ..1n1n′,
其中，
aˉi.=1n∑j=1naij,aˉ.j=1n∑i=1naij,aˉ..=1n2∑i=1n∑j=1naij.\bar{a}_{i.}=\dfrac1n\sum\limits_{j=1}^na_{ij},\ \bar{a}_{.j}=\dfrac1n\sum\limits_{i=1}^na{ij},\ \bar{a}_{..}=\dfrac1{n^2}\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}. aˉi.=n1j=1∑naij, aˉ.j=n1i=1∑naij, aˉ..=n21i=1∑nj=1∑naij.
将上述各式代入 B=H′AH=A−1nAJ−1nJA+1n2JAJB=H'AH=A-\dfrac1nAJ-\dfrac1nJA+\dfrac1{n^2}JAJB=H′AH=A−n1AJ−n1JA+n21JAJ ，得到
bij=aij−aˉi.−aˉ.j+aˉ..,b_{ij}=a_{ij}-\bar{a}_{i.}-\bar{a}_{.j}+\bar{a}_{..}, bij=aij−aˉi.−aˉ.j+aˉ..,
再由dij2=−2aij=(xi−xj)′(xi−xj)d_{ij}^2=-2a_{ij}=(x_i-x_j)'(x_i-x_j)dij2=−2aij=(xi−xj)′(xi−xj)式可分别求得aij,aˉi.,aˉ.j,aˉ..a_{ij},\,\bar{a}_{i.},\,\bar{a}_{.j},\,\bar{a}_{..}aij,aˉi.,aˉ.j,aˉ..，将其代入式bij=aij−aˉi.−aˉ.j+aˉ..b_{ij}=a_{ij}-\bar{a}_{i.}-\bar{a}_{.j}+\bar{a}_{..}bij=aij−aˉi.−aˉ.j+aˉ..，得到
bij=aij−aˉi.−aˉ.j+aˉ..=aij−1n∑j=1naij−1n∑i=1naij+1n2∑i=1n∑j=1naij=−12(xi2+xj2−2xixj)+12n[∑j=1n(xi2+xj2−2xixj)+∑i=1n(xi2+xj2−2xixj)]−12n2∑i=1n∑j=1n(xi2+xj2−2xixj)=−12(xi2+xj2−2xixj)+12n(nxi2+∑j=1nxj2−2xi∑j=1nxj+∑i=1nxi2+nxj2−2xj∑i=1nxi)−12n2∑i=1n(nxi2+∑j=1nxj2−2xi∑j=1nxj)=xixj+12n(∑j=1nxj2−2xi∑j=1nxj+∑i=1nxi2−2xj∑i=1nxi)−12n(∑i=1nxi2+∑j=1nxj2−2n∑i=1nxi∑j=1nxj)=xixj−1n(xi∑j=1nxj+xj∑i=1nxi)+1n2∑i=1nxi∑j=1nxj=xixj−xixˉ−xjxˉ+xˉ2=(xi−xˉ)′(xj−xˉ)\begin{aligned} b_{ij} =&a_{ij}-\bar{a}_{i.}-\bar{a}_{.j}+\bar{a}_{..}\\ =&a_{ij}-\frac1n\sum_{j=1}^na_{ij}-\frac1n\sum_{i=1}^na_{ij}+\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij} \\ =&-\frac12(x_i^2+x_j^2-2x_ix_j)\\ &+\frac{1}{2n}\left[\sum_{j=1}^n(x_i^2+x_j^2-2x_ix_j)+\sum_{i=1}^n(x_i^2+x_j^2-2x_ix_j)\right]\\ &-\frac{1}{2n^2}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i^2+x_j^2-2x_ix_j)\\ =&-\frac12(x_i^2+x_j^2-2x_ix_j)\\ &+\frac{1}{2n}\left(nx_i^2+\sum_{j=1}^nx_j^2-2x_i\sum_{j=1}^nx_j+\sum_{i=1}^nx_i^2+nx_j^2-2x_j\sum_{i=1}^nx_i\right)\\ &-\frac{1}{2n^2}\sum_{i=1}^n\left(nx_i^2+\sum_{j=1}^nx_j^2-2x_i\sum_{j=1}^nx_j\right) \\ =&x_ix_j+\frac{1}{2n}\left(\sum_{j=1}^nx_j^2-2x_i\sum_{j=1}^nx_j+\sum_{i=1}^nx_i^2-2x_j\sum_{i=1}^nx_i\right)\\ &-\frac{1}{2n}\left(\sum_{i=1}^nx_i^2+\sum_{j=1}^nx_j^2-\frac2n\sum_{i=1}^nx_i\sum_{j=1}^nx_j\right) \\ =&x_ix_j-\frac{1}{n}\left(x_i\sum_{j=1}^nx_j+x_j\sum_{i=1}^nx_i\right)+\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^nx_i\sum_{j=1}^nx_j \\ =&x_ix_j-x_i\bar{x}-x_j\bar{x}+\bar{x}^2=(x_i-\bar{x})'(x_j-\bar{x}) \end{aligned} bij=======aij−aˉi.−aˉ.j+aˉ..aij−n1j=1∑naij−n1i=1∑naij+n21i=1∑nj=1∑naij−21(xi2+xj2−2xixj)+2n1[j=1∑n(xi2+xj2−2xixj)+i=1∑n(xi2+xj2−2xixj)]−2n21i=1∑nj=1∑n(xi2+xj2−2xixj)−21(xi2+xj2−2xixj)+2n1(nxi2+j=1∑nxj2−2xij=1∑nxj+i=1∑nxi2+nxj2−2xji=1∑nxi)−2n21i=1∑n(nxi2+j=1∑nxj2−2xij=1∑nxj)xixj+2n1(j=1∑nxj2−2xij=1∑nxj+i=1∑nxi2−2xji=1∑nxi)−2n1(i=1∑nxi2+j=1∑nxj2−n2i=1∑nxij=1∑nxj)xixj−n1(xij=1∑nxj+xji=1∑nxi)+n21i=1∑nxij=1∑nxjxixj−xixˉ−xjxˉ+xˉ2=(xi−xˉ)′(xj−xˉ)
其中xˉ=1n∑i=1nxi\bar{x}=\dfrac1n\sum\limits_{i=1}^nx_ixˉ=n1i=1∑nxi，即对矩阵B的每个元素，有
bij=(xi−xˉ)′(xj−xˉ),b_{ij}=(x_i-\bar{x})'(x_j-\bar{x}), bij=(xi−xˉ)′(xj−xˉ),
将上式写成矩阵形式，并注意到
H=In−1n1n1n′=[11⋱1]n×n−1n[11⋯111⋯1⋮⋮⋱⋮11⋯1]n×n=[1−1n−1n⋯−1n−1n1−1n⋯−1n⋮⋮⋱⋮−1n−1n⋯1−1n]n×n\begin{aligned} H=I_n-\frac1n\mathbf{1}_n\mathbf{1}'_n &=\begin{bmatrix} 1&&\\ &1&\\ &&\ddots&\\ &&&1 \end{bmatrix}_{n\times n}- \frac1n \begin{bmatrix} 1&1&\cdots&1\\ 1&1&\cdots&1\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&1&\cdots&1 \end{bmatrix}_{n\times n}\\ &= \begin{bmatrix} 1-\frac1n&-\frac1n&\cdots&-\frac1n\\ -\frac1n&1-\frac1n&\cdots&-\frac1n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -\frac1n&-\frac1n&\cdots&1-\frac1n \end{bmatrix}_{n\times n} \end{aligned} H=In−n11n1n′=⎣⎢⎢⎡11⋱1⎦⎥⎥⎤n×n−n1⎣⎢⎢⎢⎡11⋮111⋮1⋯⋯⋱⋯11⋮1⎦⎥⎥⎥⎤n×n=⎣⎢⎢⎢⎡1−n1−n1⋮−n1−n11−n1⋮−n1⋯⋯⋱⋯−n1−n1⋮1−n1⎦⎥⎥⎥⎤n×n
X=[x11x12⋯x1px21x22⋯x2p⋮⋮⋱⋮xn1xn2⋯xnp]n×pX=\begin{bmatrix} x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1p}\\ x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2p}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{np} \end{bmatrix}_{n\times p} X=⎣⎢⎢⎢⎡x11x21⋮xn1x12x22⋮xn2⋯⋯⋱⋯x1px2p⋮xnp⎦⎥⎥⎥⎤n×p
HX=[1−1n−1n⋯−1n−1n1−1n⋯−1n⋮⋮⋱⋮−1n−1n⋯1−1n][x11x12⋯x1px21x22⋯x2p⋮⋮⋱⋮xn1xn2⋯xnp]n×p=[x11−∑i=1nxi1nx12−∑i=1nxi2n⋯x1p−∑i=1nxipnx21−∑i=1nxi1nx22−∑i=1nxi2n⋯x2p−∑i=1nxipn⋮⋮⋱⋮xn1−∑i=1nxi1nxn2−∑i=1nxi2n⋯xnp−∑i=1nxipn]n×p=[x11−xˉx12−xˉ⋯x1p−xˉx21−xˉx22−xˉ⋯x2p−xˉ⋮⋮⋱⋮xn1−xˉxn2−xˉ⋯xnp−xˉ]n×p=(X1−X‾,X2−X‾,⋯,Xn−X‾)′\begin{aligned} HX&=\begin{bmatrix} 1-\frac1n&-\frac1n&\cdots&-\frac1n\\ -\frac1n&1-\frac1n&\cdots&-\frac1n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ -\frac1n&-\frac1n&\cdots&1-\frac1n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{11}&x_{12}&\cdots&x_{1p}\\ x_{21}&x_{22}&\cdots&x_{2p}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{np} \end{bmatrix}_{n\times p} \\\\ &=\begin{bmatrix} x_{11}-\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_{i1}}{n}&x_{12}-\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_{i2}}{n}&\cdots&x_{1p}-\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_{ip}}{n}\\ x_{21}-\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_{i1}}{n}&x_{22}-\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_{i2}}{n}&\cdots&x_{2p}-\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_{ip}}{n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{n1}-\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_{i1}}{n}&x_{n2}-\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_{i2}}{n}&\cdots&x_{np}-\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_{ip}}{n} \end{bmatrix}_{n\times p}\\ &=\begin{bmatrix} x_{11}-\bar{x}&x_{12}-\bar{x}&\cdots&x_{1p}-\bar{x}\\ x_{21}-\bar{x}&x_{22}-\bar{x}&\cdots&x_{2p}-\bar{x}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ x_{n1}-\bar{x}&x_{n2}-\bar{x}&\cdots&x_{np}-\bar{x} \end{bmatrix}_{n\times p}\\ &=(X_1-\overline{X},\,X_2-\overline{X},\,\cdots,\,X_n-\overline{X})'\\ \end{aligned} HX=⎣⎢⎢⎢⎡1−n1−n1⋮−n1−n11−n1⋮−n1⋯⋯⋱⋯−n1−n1⋮1−n1⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡x11x21⋮xn1x12x22⋮xn2⋯⋯⋱⋯x1px2p⋮xnp⎦⎥⎥⎥⎤n×p=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡x11−ni=1∑nxi1x21−ni=1∑nxi1⋮xn1−ni=1∑nxi1x12−ni=1∑nxi2x22−ni=1∑nxi2⋮xn2−ni=1∑nxi2⋯⋯⋱⋯x1p−ni=1∑nxipx2p−ni=1∑nxip⋮xnp−ni=1∑nxip⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤n×p=⎣⎢⎢⎢⎡x11−xˉx21−xˉ⋮xn1−xˉx12−xˉx22−xˉ⋮xn2−xˉ⋯⋯⋱⋯x1p−xˉx2p−xˉ⋮xnp−xˉ⎦⎥⎥⎥⎤n×p=(X1−X,X2−X,⋯,Xn−X)′
其中Xi=(xi1,xi2,⋯,xip),i=1,2,⋯,nX_i=(x_{i1},\,x_{i2},\,\cdots,\,x_{ip}),\ \ i=1,\,2,\,\cdots,\,nXi=(xi1,xi2,⋯,xip), i=1,2,⋯,n.
于是得到B=(HX)(HX)′B=(HX)(HX)'B=(HX)(HX)′，用任一nnn维列向量α\alphaα构造二次型可知，
α′Bα=α′(HX)(HX)′α=α′(HX)[α′(HX)]′=∥α′HX∥2⩾0,\alpha' B\alpha=\alpha'(HX)(HX)'\alpha=\alpha'(HX)[\alpha'(HX)]'=\|\alpha' HX\|^2\geqslant0, α′Bα=α′(HX)(HX)′α=α′(HX)[α′(HX)]′=∥α′HX∥2⩾0,
所以BBB为半正定阵，必要性得证，下证充分性。
充分性
记p=rank(B),λ1,λ2,⋯,λpp=\mathrm{rank}(B),\,\lambda_1,\,\lambda_2,\,\cdots,\,\lambda_pp=rank(B),λ1,λ2,⋯,λp为BBB的正特征根，x(1),⋯,x(p)x_{(1)},\,\cdots,\,x_{(p)}x(1),⋯,x(p)为对应的特征向量。
由已知条件，B⩾0B\geqslant0B⩾0，根据施密特正交化方法得
B=H′AH=ΓΛΓ′B=H'AH=\varGamma\Lambda\varGamma' B=H′AH=ΓΛΓ′
其中Λ=diag(λ1,λ2,⋯,λp),λ1⩾⋯⩾λp\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\,\lambda_2,\,\cdots,\,\lambda_p),\,\lambda_1\geqslant\cdots\geqslant\lambda_pΛ=diag(λ1,λ2,⋯,λp),λ1⩾⋯⩾λp为BBB的ppp个正特征根Γ=XΛ−12,Γ\varGamma=X\Lambda^{-\frac12},\,\varGammaΓ=XΛ−21,Γ的ppp个列为对应的ppp个标准正交化的特征向量。
取X=ΓΛ12X=\varGamma\Lambda^{\frac12}X=ΓΛ21，为一n×pn\times pn×p阶矩阵。将XXX写成X=(x1,x2,⋯,xn)′=(x(1),x(2),⋯,x(p))X=(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n)'=(x_{(1)},\,x_{(2)},\,\cdots,\,x_{(p)})X=(x1,x2,⋯,xn)′=(x(1),x(2),⋯,x(p))，于是有
X′X=(ΓΛ12)′(ΓΛ12)=Λ,B=XX′,X'X=(\varGamma\Lambda^{\frac12})'(\varGamma\Lambda^{\frac12})=\Lambda,\ B=XX', X′X=(ΓΛ21)′(ΓΛ21)=Λ, B=XX′,
即bij=xi′xjb_{ij}=x_i'x_jbij=xi′xj。由此得到xix_ixi与xjx_jxj两点的距离平方
(xi−xj)′(xi−xj)=xi′xi−2xi′xj+xj′xj=bii−2bij+bjj=aii−2aij+ajj=−2aij=dij2\begin{aligned} (x_i-x_j)'(x_i-x_j) &= x_i'x_i-2x_i'x_j+x_j'x_j=b_{ii}-2b_{ij}+b_{jj}\\ &= a_{ii}-2a_{ij}+a_{jj}= -2a_{ij}=d_{ij}^2 \end{aligned} (xi−xj)′(xi−xj)=xi′xi−2xi′xj+xj′xj=bii−2bij+bjj=aii−2aij+ajj=−2aij=dij2
根据上述推导可知：存在正整数ppp和一个n×pn\times pn×p阶矩阵X=x1,x2,⋯,xn)=ΓΛ12X=x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n)=\varGamma\Lambda^{\frac12}X=x1,x2,⋯,xn)=ΓΛ21，使得XXX是DDD的构造点，所以DDD为欧式型。
□
MDS古典解计算步骤
由距离阵D=(dij)D=(d_{ij})D=(dij) 构造矩阵A=(aij)=−12dij2A=(a_{ij})=-\dfrac12d_{ij}^2A=(aij)=−21dij2;
令矩阵B=(bij)B=(b_{ij})B=(bij), 其中bij=aij−a‾i.−a‾.j+a‾..b_{ij}=a_{ij}-\overline{a}_{i.}-\overline{a}_{.j}+\overline{a}_{..}bij=aij−ai.−a.j+a..;
求矩阵BBB的特征根λ1⩾λ2⩾⋯⩾λn\lambda_1\geqslant\lambda_2\geqslant\cdots\geqslant\lambda_nλ1⩾λ2⩾⋯⩾λn, 若无负特征根，表明B⩾0B\geqslant 0B⩾0, 从而距离阵DDD是欧式型的; 若有负特征根，距离阵DDD一定不是欧式型的。此时令
a1,k=∑i=1kλi∑i=1n∣λi∣,a2,k=∑i=1kλi2∑i=1nλi2,a_{1,\,k}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^k\lambda_i}{\sum\limits_{i=1}^n|\lambda_i|},\quad a_{2,\,k}=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^k\lambda_i^2}{\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i^2}, a1,k=i=1∑n∣λi∣i=1∑kλi,a2,k=i=1∑nλi2i=1∑kλi2,
上面两个量相当于主成分分析(PCA)中的累积贡献率;令X^=(x^(1),⋯,x^(k))\hat{X}=\big(\hat{x}_{(1)},\,\cdots,\,\hat{x}_{(k)}\big)X^=(x^(1),⋯,x^(k)), 则X^\hat{X}X^的行向量x1,⋯,xnx_1,\,\cdots,\,x_nx1,⋯,xn即为待求的古典解。
R语言实现
方法一：使用内置的cmdscale()函数
直接输入距离阵即可进行求解
方法二：使用自定义函数
根据定义及计算步骤编写自定义函数
# 输入距离阵D
calc_mds <- function(D) {dim <- nrow(D)A <- -1/2*D^2onen <- matrix(rep(1, dim), nrow=dim)H <- diag(dim) - 1/dim * onen %*% t(onen)B <- t(H) %*% A %*% Hval <- eigen(B, symmetric=F)$valuesvec <- eigen(B, symmetric=F)$vectorsif (all(val>=0)) {MDS <- vec[,1:2] %*% diag(sqrt(val[1:2])); data.frame(points = round(MDS, 3))}else print("距离阵非欧式型！")}MDS <- calc_mds(D)
plot(MDS)
参考文献
[1] 王斌会. 多元统计分析及R语言建模(第四版). 暨南大学出版社. 2016.
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