详细内容请阅读《Deep Learning with Python》 中文翻译为：《Python深度学习》 [美] 弗朗索瓦·肖莱　著 张亮　译

1、随机梯度下降

给定一个可微函数，理论上可以用解析法找到它的最小值：函数的最小值是导数为0 的点，因此你只需找到所有导数为0 的点，然后计算函数在其中哪个点具有最小值。将这一方法应用于神经网络，就是用解析法求出最小损失函数对应的所有权重值。可以通过对方程gradient(f)(W) = 0 求解W 来实现这一方法。这是包含N 个变量的多项式方程，其中N 是网络中系数的个数。N=2 或N=3 时可以对这样的方程求解，但对于实际的神经网络是无法求解的，因为参数的个数不会少于几千个，而且经常有上千万个。

下面按照如下的5步进行处理：

(1) 抽取训练样本x 和对应目标y 组成的数据批量。

(2) 在x 上运行网络，得到预测值y_pred。

(3) 计算网络在这批数据上的损失，用于衡量y_pred 和y 之间的距离。

(4) 计算损失相对于网络参数的梯度［一次反向传播(backward pass)］。

(5) 将参数沿着梯度的反方向移动一点，比如W -= step * gradient，从而使这批数据上的损失减小一点。

总结：基于当前在随机数据批量上的损失，一点一点地对参数进行调节。由于处理的是一个可微函数，你可以计算出它的梯度，从而有效地实现第四步。沿着梯度的反方向更新权重，损失每次都会变小一点。

刚刚描述的方法叫作小批量随机梯度下降(mini-batch stochastic gradient descent，又称为小批量SGD)。术语随机(stochastic)是指每批数据都是随机抽取的(stochastic 是random在科学上的同义词)。下图给出了一维的情况，网络只有一个参数，并且只有一个训练样本。

沿着一维损失函数曲线的随机梯度下降(一个需要学习的参数)

如你所见，直观上来看，为step 因子选取合适的值是很重要的。如果取值太小，则沿着曲线的下降需要很多次迭代，而且可能会陷入局部极小点。如果取值太大，则更新权重值之后可能会出现在曲线上完全随机的位置。注意，小批量SGD 算法的一个变体是每次迭代时只抽取一个样本和目标，而不是抽取一批数据。这叫作真SGD(有别于小批量SGD)。还有另一种极端，每一次迭代都在所有数据上运行，这叫作批量SGD。这样做的话，每次更新都更加准确，但计算代价也高得多。这两个极端之间的有效折中则是选择合理的批量大小。

上图描述的是一维参数空间中的梯度下降，但在实践中需要在高维空间中使用梯度下降。神经网络的每一个权重参数都是空间中的一个自由维度，网络中可能包含数万个甚至上百万个参数维度。为了让你对损失曲面有更直观的认识，你还可以将梯度下降沿着二维损失曲面可视化，如下图所示。但你不可能将神经网络的实际训练过程可视化，因为你无法用人类可以理解的方式来可视化1 000 000 维空间。因此最好记住，在这些低维表示中形成的直觉在实践中不一定总是准确的。这在历史上一直是深度学习研究的问题来源。

沿着二维损失曲面的梯度下降(两个需要学习的参数)

此外，SGD 还有多种变体，其区别在于计算下一次权重更新时还要考虑上一次权重更新，而不是仅仅考虑当前梯度值，比如带动量的SGD、Adagrad、RMSProp 等变体。这些变体被称为优化方法(optimization method)或优化器(optimizer)。其中动量的概念尤其值得关注，它在许多变体中都有应用。动量解决了SGD 的两个问题：收敛速度和局部极小点。下图给出了损失作为网络参数的函数的曲线。

局部极小点和全局最小点

如你所见，在某个参数值附近，有一个局部极小点(local minimum)：在这个点附近，向左移动和向右移动都会导致损失值增大。如果使用小学习率的SGD 进行优化，那么优化过程可能会陷入局部极小点，导致无法找到全局最小点。

使用动量方法可以避免这样的问题，这一方法的灵感来源于物理学。有一种有用的思维图像，就是将优化过程想象成一个小球从损失函数曲线上滚下来。如果小球的动量足够大，那么它不会卡在峡谷里，最终会到达全局最小点。动量方法的实现过程是每一步都移动小球，不仅要考虑当前的斜率值(当前的加速度)，还要考虑当前的速度(来自于之前的加速度)。这在实践中的是指，更新参数w 不仅要考虑当前的梯度值，还要考虑上一次的参数更新，其简单实现如下所示。其中，velocity(速度的意思)。

2、链式求导：反向传播算法

在前面的算法中，我们假设函数是可微的，因此可以明确计算其导数。在实践中，神经网络函数包含许多连接在一起的张量运算，每个运算都有简单的、已知的导数。例如，下面这个网络f包含3 个张量运算a、b 和c，还有3个权重矩阵W1、W2 和W3。

f(W1, W2, W3) = a(W1, b(W2, c(W3)))

根据微积分的知识，这种函数链可以利用下面这个恒等式进行求导，它称为链式法则(chain rule)：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)。将链式法则应用于神经网络梯度值的计算，得到的算法叫作反向传播(backpropagation，有时也叫反式微分，reverse-mode differentiation)。反向传播从最终损失值开始，从最顶层反向作用至最底层，利用链式法则计算每个参数对损失值的贡献大小。

现在以及未来数年，人们将使用能够进行符号微分(symbolic differentiation)的现代框架来实现神经网络，比如TensorFlow。也就是说，给定一个运算链，并且已知每个运算的导数，这些框架就可以利用链式法则来计算这个运算链的梯度函数，将网络参数值映射为梯度值。对于这样的函数，反向传播就简化为调用这个梯度函数。由于符号微分的出现，你无须手动实现反向传播算法。

神经网络的数学基础系列(1-8)结束。谢谢。