图的应用：关键路径

思维导图：
关键路径的定义：
步骤：
事件最早发生时间：（权值最大、出边）
事件最迟发生时间：（权值最小、入边）
活动a~i~的最早开始时间:
活动a~i~的最迟开始时间:
活动a~i~的差额：
例：

思维导图：

关键路径的定义：

ps：
顶点表示事件，边表示活动，权值表示活动的开销
某一顶点出边表示的含义： 只有当这个事件（顶点）结束时，才能开始活动（出边）
以V₁为例，只有当V₁事件结束时，才能同时执行a₁和a₂俩个活动
某一顶点入边表示的含义： 只有当所有的活动（所有的入边）结束时才能开始事件
以V₄为例，只有当a₃和a₅俩个活动结束后，才能开始V₄事件

步骤：

事件最早发生时间：（权值最大、出边）

ps：

1、以V₁为源点，V₆为汇点
2、计算V₁到V₆的最早发生时间，就需要计算V₁分别到达V₃、V₄、V₅的最早发生事件，然后分别加上a₆、a₇、a₈的权重然后取最大值。
3、以此类推，求V₅的最早发生时间就需要求V₂的最早发生时间；求V₄的最早发生时间就需要求V₂和V₃的最早发生时间然后取最大
4、而各个节点求最早发生时间的顺序是按照拓扑排序的顺序来求的。

事件最迟发生时间：（权值最小、入边）

ps：
求最早发生时间的逆序过程
1、以V₁为源点，V₆为汇点
2、计算V₆到V₁的最迟发生时间，就需要计算V₃、V₄、V₅的最早发生事件，然后分别减去a₆、a₇、a₈的权重然后取最小值。
3、以此类推，求V₅的最迟发生时间就需要求V₂的最迟发生时间；求V₄的最迟发生时间就需要求V₂和V₃的最迟发生时间然后取最小
4、而各个节点求最早发生时间的顺序是按照拓扑排序的顺序来求的。

活动a_i的最早开始时间:

ps: 即该边（活动）弧尾对应事件的最早开始时间
以a₈为例，a₈的最早开始时间就是事件V₅的最早开始时间，即e[8] = 6

活动a_i的最迟开始时间:

ps： 即该边（活动）弧头对应事件 - a_i的权值
以a₇为例，a₇的最迟开始时间就是V₆的最早开始时间 - a₇，即l[7] = 6

活动a_i的差额：

d(i)为0即说明它为关键路径，所以这个有向图的关键路径为a₂ -> a₅ -> a₇
要对整个工程进行优化，就需要对关键路径进行优化

例：

ps： 在强调一下

V_e(i): 事件的最早发生时间：从V₁开始，拓扑排序，取最大
V_l(i): 事件的最迟发生时间：从V₆开始，V₄ = V₆ - a₇，取最小
e(i): 活动的最早发生时间：弧尾对应事件的最早开始时间
l(i): 活动的最迟发生时间：弧头对应事件最迟开始时间 - a_i的权值，l(1) = V₂ - a₁ = 9
d(i): 活动的差额：活动的最迟发生时间 - 活动的最早发生时间

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