数值计算方法（一）—

拉格朗日插值

数学原理

此处的拉格朗日插值均为多项式插值，固定下节点，多项式立刻确定下来。
n+1个互异节点满足插值条件的n次拉格朗日插值多项式为：

代码实现

算法实现过程：
1.获取节点个数
2.将节点的x和y存入两个数组中
3.在进行拉格朗日插值中，利用两层循环，外循环累加每一项lk(x)的的值，内循环计算各项lk(x)的值（i!=j时进行累乘）

#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;float x[10];
float y[10];
int count;void load_data()
{cout<<"the count is";cin>>count;for(int i=0;i<count;i++){cin>>x[i]>>y[i];cout<<"\n";}
}void print_data()
{for(int i=0;i<count;i++){cout<<"x is "<<x[i]<<" y is "<<y[i]<<'\n';}
}float Lagrange_interpolation(float value_x)
{float sum_all=0;float sum_single;for (int i=0;i<count;i++){sum_single=y[i];for(int j=0;j<count;j++){if(i==j)continue;else{sum_single*=(value_x-x[j])/(x[i]-x[j]);}}//cout<<"the sum_single is "<<sum_single<<endl;sum_all+=sum_single;}return sum_all;
}void main()
{float value_x;float result;load_data();print_data();cout<<"please input the value_x ";cin>>value_x;result=Lagrange_interpolation(value_x);cout<<"the output is "<<result;system("pause");
}

埃特金插值

数学原理

采用逐次线性插值的方法，可以灵活地增加插值节点，且具有所谓的“承袭性”

上图即为原理图，每一次新增的插值都是采用线性插值，即取两个节点。
举例：

得到的表达式将与拉格朗日插值相同。
特点：
1.将一个高次插值过程归结为线性插值的多次重复
2.埃特金插值表中的每个数据均可视为差值结果；这些数据的一致程度即可判断差值结果的精度
3.可以逐行生成插值表，每做一步便检查一下计算结果的精度，如不满足精度，则增加一个节点再算，直到满足精度为止
4.在插值节点较多的情况下，可以降低插值次数

代码实现
1.建立了数组node用于存放节点的x坐标，建立数组result用于存放不同阶数的插值，为一个三角矩阵
2.数组result的存放格式为：行代表的是插值的阶数，列代表的是对应阶数的不同的插值项
3.具体的计算逻辑见Aitken_interpolation(float x)，主要是找前一阶的插值（首项以及对应项），前一阶的插值找到后就可以找到对应的节点值

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
using namespace std;int count;
float result[10][10];
float node[10];void Load_data()
{cout<<"please input the count ";cin>>count;cout<<"input the node and result"<<endl;for(int i=0;i<count;i++){cin>>node[i]>>result[0][i];cout<<endl;}
}void Print_result()
{for (int i=0;i<count;i++){for (int j=0;j<count;j++){cout<<result[i][j]<<" ";}cout<<endl;}
}void Aitken_interpolation(float x)
{for (int i=1;i<count;i++){for (int j=i;j<count;j++){result[i][j]=result[i-1][j]*(x-node[i-1])/(node[j]-node[i-1])+result[i-1][i-1]*(x-node[j])/(node[i-1]-node[j]);}}
}void main()
{float x;Load_data();cout<<"please input the value_x ";cin>>x;Aitken_interpolation(x);Print_result();system("pause");
}

PS：如何实现尾部插入不需全部重新计算？

牛顿插值

数学原理

差商的定义：
一阶：
二阶：

n阶差商：

差商表：

建立差商表后，利用差商的定义式进行递推：

最后留出余项：

可以发现，实际用到的各阶差商值为差商表中的对角线项。

代码实现
1.建立两个数组，数组node代表节点的x值，二维数组quotient_table代表的是各阶的差商的表
2.差商表的每一行代表的是阶数，每一列代表的是同一阶数的不同项的差商
3.在计算差商时，需要找到上一阶的差商值（即上一阶的同列以及上一列），也要找到节点（一个节点的索引为该列序号，另一个节点索引应为该列序号减去阶数），具体见Build_quotient_table()
4.实现牛顿插值时，使用temp_x作为中间变量对(x-xi)的累乘进行保存，减少计算次数

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
using namespace std;int count;
float quotient_table[10][10];
float node[10];void Load_Data()
{cout<<"please input the count ";cin>>count;cout<<"\nplease input the node and zero order of quotient"<<endl;for (int i=0;i<count;i++){cin>>node[i]>>quotient_table[0][i];cout<<endl;}
}void Print_quotient_table()
{for (int i=0;i<count;i++){for (int j=0;j<count;j++){cout<<quotient_table[i][j]<<" ";}cout<<endl;}
}/**@name Build_quotient_table：建立差商表*@return none
*/
void Build_quotient_table()
{for (int i=1;i<count;i++){for (int j=i;j<count;j++){//二维数组每一行i对应的是i阶差商，每一列j对应的是在该阶差商中的不同项之间的差商quotient_table[i][j]=(quotient_table[i-1][j]-quotient_table[i-1][j-1])/(node[j]-node[j-i]);}}
}/**@name Newton_interpolation：利用牛顿插值进行计算*@param x：变量x*@return：牛顿插值得到的结果
*/
float Newton_interpolation(float x)
{float sum=0;float temp_x=1;for (int i=0;i<count;i++){sum+=temp_x*quotient_table[i][i];temp_x*=(x-node[i]);}return sum;
}void main()
{Load_Data();Build_quotient_table();Print_quotient_table();cout<<"the result is "<<Newton_interpolation(0.596)<<endl;system("pause");
}

可以参考一下别人的代码（没有通过数组去保存，直接迭代）：https://blog.csdn.net/weixin_43242836/article/details/90813652