一、近似算法的概念

1、为啥要研究近似算法？

\quad目前大规模的NPC问题我们无法通过计算得到，因此我们需要通过损失一部分精度的做法来找到多项式的近似算法。

2、近似算法精度的评价

\quad用近似算法得到的解与原问题的最优解比值不超过ρρρ，则称该算法是ρ−近似算法ρ-近似算法ρ−近似算法。难点在于在不知道最优解的情况下证明近似解与最优解的近似程度。

二、几个经典的近似问题

1、负载均衡问题

\quad负载均衡问题：给出mmm个机器，nnn个任务，设任务jjj处理时长为tjt_jtj。要求如下：

每个任务只能在一个机器上不间断的完成
每个机器不能同时处理多个任务

\quad设S[i]S[i]S[i]表示给机器iii处理的任务集合，则机器iii的处理时长为L[i]=∑j∈S[i]tjL[i]=\sum_{j\in S[i]}t_jL[i]=∑j∈S[i]tj。负载均衡问题的目标就是找到一种任务分配方案使得min(max(L[i]))min(max(L[i]))min(max(L[i]))，即让每个机器处理的任务的时长尽可能均衡。
\quad这个问题是NPC问题，因为Partiton问题≤P负载均衡问题Partiton问题 \le_P 负载均衡问题Partiton问题≤P负载均衡问题。

近似策略1

\quad贪心策略：每次在机器中选出当前处理时长最短的机器处理下一个任务。时间复杂度为O(nlogm)O(nlogm)O(nlogm)，对于每个任务都需要从mmm个机器中选出处理时长最短的机器，这个用优先队列维护即可。这个近似算法是2-近似的，证明如下：

引理1：设最优解为L∗L^*L∗，则L∗≥maxjtjL^*\geq max_jt_jL∗≥maxjtj，因为至少一个机器要处理一个任务，所有任务中花费时间最长的任务所需时间为maxjtjmax_jt_jmaxjtj，故得到此不等式。
引理2：L∗≥1m∑jtjL^* \geq \frac{1}{m}\sum_jt_jL∗≥m1∑jtj。当每个机器处理任务的时长相同时L∗=1m∑jtjL^* = \frac{1}{m}\sum_jt_jL∗=m1∑jtj，显然其他情况下L∗>1m∑jtjL^* > \frac{1}{m}\sum_jt_jL∗>m1∑jtj。
假设最后一个任务jjj给了机器iii，说明在此之前，机器iii的负载时长最小，即L[i]−tj≤L[k](对任意k满足1≤k≤m)L[i]-t_j\le L[k](对任意k满足1 \le k \le m)L[i]−tj≤L[k](对任意k满足1≤k≤m)。
因为对任意一个机器kkk都满足L[i]−tj≤L[k]L[i]-t_j\le L[k]L[i]−tj≤L[k]，因此m(L[i]−tj)≤∑kL[k]m(L[i]-t_j)\le \sum_kL[k]m(L[i]−tj)≤∑kL[k]，即L[i]−tj≤1m∑kL[k]=1m∑jtj≤L∗(引理2)L[i]-t_j\le \frac{1}{m}\sum_kL[k]=\frac{1}{m}\sum_j t_j \le L^*(引理2)L[i]−tj≤m1∑kL[k]=m1∑jtj≤L∗(引理2)
到这里，该近似算法求解的结果L=L[i]=(L[i]−tj)+tj≤L∗+L∗=2L∗L=L[i]=(L[i]-t_j)+t_j \le L^*+L^*=2L^*L=L[i]=(L[i]−tj)+tj≤L∗+L∗=2L∗，即L≤2L∗L\le 2L^*L≤2L∗，该贪心策略是该问题的2-近似算法。

\quad该近似算法能达到最优解的2倍吗，即上述不等式是紧的吗？是紧的！

近似策略2

\quad策略2：将任务按照处理时长tjt_jtj从大到小排序，之后再每次在机器中选出当前处理时长最短的机器处理下一个任务。时间复杂度为O(nlogn+nlogm)O(nlogn+nlogm)O(nlogn+nlogm)。这个近似算法是32−近似\frac{3}{2}-近似23−近似的，证明如下：

引理3：假设有mmm个机器，超过mmm个任务，这些任务按照处理时长排好序，t1≥t2≥⋯≥tm+1≥⋯t_1\ge t_2 \ge \cdots \ge t_{m+1} \ge \cdotst1≥t2≥⋯≥tm+1≥⋯，则显然某个机器上至少要处理两个任务，则最优解L∗≥2tm+1L^*\ge 2t_{m+1}L∗≥2tm+1。
从近似策略1的推导可以得到L=L[i]=(L[i]−tj)+tjL=L[i]=(L[i]-t_j)+t_jL=L[i]=(L[i]−tj)+tj，假设机器iii上至少有2个任务，则利用引理3可得tj≤12L∗t_j\le \frac{1}{2}L^*tj≤21L∗，故L≤32L∗L\le \frac{3}{2}L^*L≤23L∗，该策略是该问题的32−近似\frac{3}{2}-近似23−近似算法。

\quad该近似算法能达到最优解的32\frac{3}{2}23倍吗，即上述不等式是紧的吗？不是紧的！

2、中心点选择问题

\quad问题描述：给出nnn个点s1,⋯,sns_1,\cdots,s_ns1,⋯,sn，从中选出kkk个点CCC，设每个点到最近的中心点CCC的距离为did_idi，问采取何种策略选出这kkk个点使得r(C)=max(di)r(C)=max(d_i)r(C)=max(di)最小。这个问题是NPH问题。
\quad贪心策略：初始时随机选一个点作为中心点，之后的k−1k-1k−1次，每次遍历除已选做中心点的其他点，找出与该点距离最近的某个中心点计算出距离djd_jdj。最后在这些点中找出maxjdjmax_j d_jmaxjdj对应的点作为下一个中心点。这个近似算法是2-近似的，证明如下：

设C∗C^*C∗是最优解对应的中心点，CCC是用上述贪心算法选出的中心点，则r(C)≤2r(C∗)r(C)\le 2r(C^*)r(C)≤2r(C∗)。

3、带权顶点覆盖问题

\quad图的每个顶点都有权重，找一个图的顶点集合能覆盖所有的边，问如何选择顶点使得这些顶点的权重和最小。用竞价法去近似求解。

对于某个顶点iii，其权重为wiw_iwi，与该顶点相连的边记为ppp，给这些边赋值权重，使得∑e=(i,j)pe≤wi\sum_{e=(i,j)}p_e \le w_i∑e=(i,j)pe≤wi。
设SSS为任意一个集合覆盖，则∑epe≤∑i∈S∑e=(i,j)pe≤∑i∈Swi=w(S)\sum_ep_e\le \sum_{i\in S}\sum_{e=(i,j)}p_e\le \sum_{i\in S}w_i=w(S)∑epe≤∑i∈S∑e=(i,j)pe≤∑i∈Swi=w(S)，故∑epe≤w(S)\sum_ep_e\le w(S)∑epe≤w(S)。
算法流程：对于图中任意一条边e=(i,j)e=(i,j)e=(i,j)，令pe=0p_e=0pe=0，当i,ji,ji,j顶点的∑e=(i,j)pe<wi,∑e=(i,j)pe<wj\sum_{e=(i,j)}p_e<w_i,\sum_{e=(i,j)}p_e<w_j∑e=(i,j)pe<wi,∑e=(i,j)pe<wj时，增加pep_epe直到满足∑e=(i,j)pe=wi或者∑e=(i,j)pe=wj\sum_{e=(i,j)}p_e=w_i或者\sum_{e=(i,j)}p_e=w_j∑e=(i,j)pe=wi或者∑e=(i,j)pe=wj。这时候相等的那个顶点放入SSS中。
竞价法是2-近似算法，证明如下：

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