文章目录

内生解释变量
- 内生性的含义
- 内生性的产生原因
- 内生性的后果
- 内生性的修正措施
- - 工具变量法
  - - 工具变量的选取
    - 一元回归模型的 IV 估计
    - 多元回归模型的 IV 估计
  - 两阶段最小二乘法 2SLS
- 豪斯曼检验
- 联立方程问题

内生解释变量

内生性的含义

假设多元回归模型：
y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + . . . + β k x k + u , y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+...+\beta_kx_k+u \ , y=β0+β1x1+β2x2+...+βkxk+u ,

回顾零条件均值假设 MLR.4 ：
E ( u ∣ x 1 , x 2 , ⋯ , x k ) = 0 , {\rm E}(u|x_1,x_2,\cdots,x_k)=0 \ , E(u∣x1,x2,⋯,xk)=0 ,
根据 MLR.4 我们可以得到推论：
C o v ( u , x j ) = 0 , j = 1 , 2 , ⋯ , k . {\rm Cov}(u,\,x_j)=0 \ ,\ \ \ \ j=1,2,\cdots,k \ . Cov(u,xj)=0 , j=1,2,⋯,k .
如果 C o v ( x i , u ) ≠ 0 {\rm Cov}(x_i,\,u)\neq0 Cov(xi,u)=0 ，则称 x i x_i xi 为内生解释变量；

如果 C o v ( x j , u ) = 0 {\rm Cov}(x_j,\,u)=0 Cov(xj,u)=0 ，则称 x j x_j xj 为外生解释变量。

当多元回归模型违背了零条件均值假设时，我们称模型存在内生解释变量问题，又称内生性问题。在截面数据中，内生性问题只存在同期内生变量的问题；在时间序列数据中，还有可能出现同期无关但异期相关的内生性问题。

同期内生变量问题：
C o v ( x i , u i ) = E ( x i u i ) ≠ 0 . {\rm Cov}(x_i,\,u_i)={\rm E}(x_iu_i)\neq0 \ . Cov(xi,ui)=E(xiui)=0 .
同期无关，异期相关问题：
C o v ( x t , u t ) = E ( x t u t ) = 0 , {\rm Cov}(x_t,\,u_t)={\rm E}(x_tu_t)=0 \ , Cov(xt,ut)=E(xtut)=0 ,

C o v ( x t , u t − s ) = E ( x t u t − s ) ≠ 0 . {\rm Cov}(x_t,u_{t-s})={\rm E}(x_tu_{t-s})\neq0 \ . Cov(xt,ut−s)=E(xtut−s)=0 .

因此，在时间序列模型的基本假设 TS.3 中，我们需要对模型施加严格外生假设，才能保证模型不会出现内生解释变量的问题。

内生性的产生原因

建立的模型中遗漏了重要的解释变量，并且被遗漏的解释变量与模型中的其他解释变量相关：

例：假设真实的模型设定为
log ⁡ ( w a g e ) = β 0 + β 1 e d u c + β 2 a b i l + ε , \log(wage)=\beta_0+\beta_1educ+\beta_2abil+\varepsilon \ , log(wage)=β0+β1educ+β2abil+ε ,
由于 a b i l abil abil 不可观测而估计的模型为
log ⁡ ( w a g e ) = β 0 + β 1 e d u c + u , \log(wage)=\beta_0+\beta_1educ+u \ , log(wage)=β0+β1educ+u ,
其中 u = β 2 a b i l + ε u=\beta_2abil+\varepsilon u=β2abil+ε 。

此外我们假设 C o v ( e d u c , a b i l ) ≠ 0 {\rm Cov}(educ,\,abil)\neq0 Cov(educ,abil)=0 ，从而 C o v ( e d u c , u ) ≠ 0 {\rm Cov}(educ,\,u)\neq0 Cov(educ,u)=0 ，于是造成了解释变量的内生性问题。

解释变量存在测量误差：

例：假设真实的模型为
y = β 0 + β 1 i n c ∗ + ε , y=\beta_0+\beta_1inc^*+\varepsilon \ , y=β0+β1inc∗+ε ,
由于存在测量误差而估计的模型为
y = β 0 + β 1 i n c + u . y=\beta_0+\beta_1inc+u \ . y=β0+β1inc+u .
其中 i n c inc inc 是报告收入， i n c ∗ inc^* inc∗ 是真实收入，因此测量误差为 e = i n c − i n c ∗ e=inc-inc^* e=inc−inc∗ 。

我们将真实的模型改写为
y = β 0 + β 1 ( i n c − e ) + ε = β 0 + β 1 i n c + ε − β 1 e . y=\beta_0+\beta_1(inc-e)+\varepsilon=\beta_0+\beta_1inc+\varepsilon-\beta_1e \ . y=β0+β1(inc−e)+ε=β0+β1inc+ε−β1e .
如果报告收入 i n c inc inc 与测量误差 e e e 相关，就会造成内生性问题。

联立方程模型：

在一个经济系统中，变量之间相互依存，互为因果，而不是简单的单向因果关系，必须用一组方程才能描述，称为联系方程模型。
联系方程模型的每个方程称为结构方程。
每个结构方程的被解释变量是经济系统的内生变量，而解释变量既包括经济系统的外生变量，也包括其他内生变量，由经济行为关系决定。
联系方程模型的每个结构方程一般都存在内生解释变量的问题。

（我们在后面单独作为一节来详细讨论联立方程模型）

内生性的后果

违背假设 MLR.4 ，无论样本大小，都会造成OLS 估计量有偏、非一致。不仅影响内生解释变量的参数估计，也影响其他外生解释变量的参数估计。

以简单线性回归模型 y = β 0 + β 1 x + u y=\beta_0+\beta_1x+u y=β0+β1x+u 为例，假设 x x x 是内生解释变量：

有偏性：
E ( β ^ 1 ∣ x ) = β 1 + ∑ i = 1 n ( x i − x ˉ ) E ( u i ∣ x ) S S T x ≠ β 1 . {\rm E}(\hat\beta_1|x)=\beta_1+\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x}){\rm E}(u_i|x)}{SST_x}\neq\beta_1 \ . E(β^1∣x)=β1+SSTxi=1∑n(xi−xˉ)E(ui∣x)=β1 .
非一致性：
P lim ⁡ n → ∞ β ^ 1 = β 1 + C o v ( x , u ) V a r ( x ) ≠ β 1 . P\lim_{n\to\infty}\hat\beta_1=\beta_1+\frac{{\rm Cov}(x,\,u)}{{\rm Var}(x)}\neq\beta_1 \ . Pn→∞limβ^1=β1+Var(x)Cov(x,u)=β1 .

在多元线性回归模型中，用矩阵形式也可以解释：
E ( β ^ ∣ X ) = E [ ( X T X ) − 1 X T Y ] = E [ ( X T X ) − 1 X T ( X β + u ) ] = β + E [ ( X T X ) − 1 X T u ] ≠ β . \begin{aligned} {\rm E}(\hat{\boldsymbol\beta}|\boldsymbol{X})&={\rm E}\left[\left(\boldsymbol{X}^{\rm T}\boldsymbol{X}\right)^{-1}\boldsymbol{X}^{\rm T}\boldsymbol{Y}\right] \\ &={\rm E}\left[\left(\boldsymbol{X}^{\rm T}\boldsymbol{X}\right)^{-1}\boldsymbol{X}^{\rm T}\left(\boldsymbol{X}\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol u\right)\right] \\ &=\boldsymbol\beta+{\rm E}\left[\left(\boldsymbol{X}^{\rm T}\boldsymbol{X}\right)^{-1}\boldsymbol{X}^{\rm T}\boldsymbol u\right]\\ &\neq\boldsymbol{\beta} \ . \end{aligned} E(β^∣X)=E[(XTX)−1XTY]=E[(XTX)−1XT(Xβ+u)]=β+E[(XTX)−1XTu]=β .
最后一行不等号的原因：存在内生解释变量，即使只有一个，也会使得 E ( X T u ) ≠ 0 {\rm E}\left(\boldsymbol{X}^{\rm T}\boldsymbol u\right)\neq0 E(XTu)=0 。

内生性的修正措施

工具变量法

工具变量的选取

工具变量：在模型参数估计的过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机干扰项相关的内生解释变量。注意，这里的替代指的是矩估计中的矩条件，用工具变量 z z z 代替内生解释变量，并非是将回归模型中的内生解释变量全部替换。

选择为工具变量的变量必须满足以下条件：

假设多元回归模型 y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + . . . + β k x k + u y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+...+\beta_kx_k+u y=β0+β1x1+β2x2+...+βkxk+u 中存在内生解释变量 x j x_j xj ，设 z z z 为内生解释变量 x j x_j xj 的工具变量，则 z z z 需要满足：

(1) 相关性条件： C o v ( z , x j ) ≠ 0 {\rm Cov}(z,\,x_j)\neq0 Cov(z,xj)=0 ，

工具变量 z z z 与内生解释变量高度相关；
可以用回归分析的方法进行检验，工具变量的系数显著，相当于两阶段法的第一阶段。

(2) 排他性条件： C o v ( z , u ) = 0 {\rm Cov}(z,\,u)=0 Cov(z,u)=0 ，

工具变量 z z z 与干扰项不相关，即 z z z 在模型中为外生变量，只能通过内生变量 x j x_j xj 影响 y y y 。

一元回归模型的 IV 估计

设一元回归模型如下所示，其中 x x x 是内生解释变量：
y = β 0 + β 1 x + u . y=\beta_0+\beta_1x+u \ . y=β0+β1x+u .
设 z z z 是 x x x 的工具变量，满足相关性条件和排他性条件。主要利用矩估计，我们先对回归模型的两边同时求关于 z z z 的协方差：
C o v ( z , y ) = β 1 C o v ( z , x ) + C o v ( z , u ) , {\rm Cov}(z,\,y)=\beta_1{\rm Cov}(z,\,x)+{\rm Cov}(z,\,u) \ , Cov(z,y)=β1Cov(z,x)+Cov(z,u) ,
根据相关性条件和排他性条件，写出总体矩条件：
C o v ( z , x ) ≠ 0 , C o v ( z , u ) = 0 . {\rm Cov}(z,\,x)\neq0\ , \ \ \ \ {\rm Cov}(z,\,u)=0 \ . Cov(z,x)=0 , Cov(z,u)=0 .
此时我们称 β 1 \beta_1 β1 被识别了，可以写为：
β 1 = C o v ( z , y ) C o v ( z , x ) . \beta_1=\frac{{\rm Cov}(z,\,y)}{{\rm Cov}(z,\,x)} \ . β1=Cov(z,x)Cov(z,y) .
将总体矩条件改写为样本矩的形式，我们可以得到 β 1 \beta_1 β1 的 IV 估计量：
β ^ 1 = ∑ i = 1 n ( z i − z ˉ ) ( y i − y ˉ ) ∑ i = 1 n ( z i − z ˉ ) ( x i − x ˉ ) . \hat{\beta}_1=\frac{\sum\limits_{i=1}^n(z_i-\bar z)(y_i-\bar y)}{\sum\limits_{i=1}^n(z_i-\bar z)(x_i-\bar x)} \ . β^1=i=1∑n(zi−zˉ)(xi−xˉ)i=1∑n(zi−zˉ)(yi−yˉ) .
此时 β 0 \beta_0 β0 的 IV 估计量为：
β ^ 0 = y ˉ − β ^ 1 x ˉ . \hat{\beta}_0=\bar y-\hat{\beta}_1\bar x \ . β^0=yˉ−β^1xˉ .
可以证明 IV 估计量在小样本是有偏的估计量，但是在大样本下是一致的估计量。

多元回归模型的 IV 估计

我们用矩阵形式来解释多元回归模型的工具变量法，首先写出回归模型：
y = x β + u . \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x\beta}+\boldsymbol{u} \ . y=xβ+u .
设 x 2 x_2 x2 为内生解释变量，我们定义工具变量矩阵 z \boldsymbol z z 为用工具变量 z z z 代替 x 2 x_2 x2 之后的矩阵：
z = [ 1 x 11 z 1 ⋯ x 1 k 1 x 21 z 2 ⋯ x 2 k ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1 x n 1 z n ⋯ x n k ] . \boldsymbol z = \left[ \begin{array}{cccc} 1 & x_{11} & z_1 & \cdots & x_{1k} \\ 1 & x_{21} & z_2 & \cdots & x_{2k} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_{n1} & z_n & \cdots & x_{nk} \\ \end{array} \right] \ . z=⎣⎢⎢⎢⎡11⋮1x11x21⋮xn1z1z2⋮zn⋯⋯⋱⋯x1kx2k⋮xnk⎦⎥⎥⎥⎤ .
由总体矩条件 E ( z i u i ) = 0 {\rm E}(z_iu_i)=0 E(ziui)=0 我们可以得到样本矩条件 z T u = 0 \boldsymbol{z}^{\rm T}\boldsymbol{u}=0 zTu=0 ，因此我们在回归模型中左乘矩阵 z T \boldsymbol{z}^{\rm T} zT ：
z T y = z T x β . \boldsymbol{z}^{\rm T}\boldsymbol{y}=\boldsymbol{z}^{\rm T}\boldsymbol x\boldsymbol\beta \ . zTy=zTxβ .
此时我们有 β \boldsymbol\beta β 的 IV 估计量为：
β ~ = ( z T x ) − 1 z T y . \tilde{\boldsymbol\beta}=\left(\boldsymbol{z}^{\rm T}\boldsymbol x\right)^{-1}\boldsymbol{z}^{\rm T}\boldsymbol{y} \ . β~=(zTx)−1zTy .

两阶段最小二乘法 2SLS

两阶段法适用于单个内生解释变量，多个工具变量的情形。假设多元回归模型设定如下：
Y = β 0 + β 1 X 1 + ⋯ + β k X k + u , Y=\beta_0+\beta_1X_1+\cdots+\beta_kX_k+u \ , Y=β0+β1X1+⋯+βkXk+u ,
假设 X k X_k Xk 是内生解释变量，其他解释变量均为外生解释变量，设 Z Z Z 是影响 X k X_k Xk 且外生的工具变量。

step.1 令 X k X_k Xk 对 Z , X 1 , ⋯ , X k − 1 Z,X_1,\cdots,X_{k-1} Z,X1,⋯,Xk−1 做回归，得到 X k X_k Xk 的拟合值
X k = δ 0 + δ 1 Z + δ 2 X 1 + . . . + δ k X k − 1 + v , X_k=\delta_0+\delta_1Z+\delta_2X_1+...+\delta_kX_{k-1}+v \ , Xk=δ0+δ1Z+δ2X1+...+δkXk−1+v ,

X ^ k = δ ^ 0 + δ ^ 1 Z + δ ^ 2 X 1 + . . . + δ ^ k X k − 1 . \hat{X}_k=\hat\delta_0+\hat\delta_1Z+\hat\delta_2X_1+...+\hat\delta_kX_{k-1} \ . X^k=δ^0+δ^1Z+δ^2X1+...+δ^kXk−1 .

step.2 用 X ^ k \hat{X}_k X^k 代替 X k X_k Xk 进行多元回归：
Y = β 0 + β 1 X 1 + . . β k X ^ k + u . Y=\beta_0+\beta_1X_1+..\beta_k\hat{X}_k+u \ . Y=β0+β1X1+..βkX^k+u .
如果有多个工具变量，只需在第一阶段将所有工具变量放在等号右边进行回归即可

此时得到的 β ^ k \hat\beta_k β^k 被称为两阶段法估计量，是有偏但一致的估计量。

豪斯曼检验

对内生性的检验方法，比较常用的就是豪斯曼检验。我们设定如下模型：
y 1 = β 0 + β 1 y 2 + β 2 z 1 + β 3 z 2 + u 1 , y_1=\beta_0+\beta_1y_2+\beta_2z_1+\beta_3z_2+u_1 \ , y1=β0+β1y2+β2z1+β3z2+u1 ,
其中我们怀疑内生变量为 y 2 y_2 y2，已知的外生变量为 z 1 z_1 z1， z 2 z_2 z2，结构方程中不出现的外生变量 z 3 z_3 z3， z 4 z_4 z4。

豪斯曼建议直接比较 OLS 和 2SLS 估计值，判断其差异是否在统计上显著。如果所有变量都是外生的，则 OLS 和 2SLS 都是一致的。如果 2SLS 与OLS 明显不同，就断定 y 2 y_2 y2 必定是内生的。

step.1 将 y 2 y_2 y2 对所有外生变量回归而估计 y 2 y_2 y2 的约简型方程，得到残差 ν ^ 2 \hat{\nu}_2 ν^2 ：
y 2 = π 0 + π 1 z 1 + π 2 z 2 + π 3 z 3 + π 4 z 4 + ν 2 , y_2=\pi_0+\pi_1z_1+\pi_2z_2+\pi_3z_3+\pi_4z_4+\nu_2 \ , y2=π0+π1z1+π2z2+π3z3+π4z4+ν2 ,
我们认为 y 2 y_2 y2 与 u 1 u_1 u1 不相关的充要条件为 ν 2 \nu_2 ν2 与 u 1 u_1 u1 不相关。

这一步起到了过滤器的作用： ν 2 \nu_2 ν2 是 y 2 y_2 y2 中内生的部分。

step 2. 检验方程 u 1 = δ 1 ν 2 + ε 1 u_1=\delta_1\nu_2+\varepsilon_1 u1=δ1ν2+ε1 中的 δ 1 = 0 \delta_1=0 δ1=0 的假设：
y 1 = β 0 + β 1 y 2 + β 2 z 1 + β 3 z 2 + δ 1 ν ^ 2 + ε 1 , y_1=\beta_0+\beta_1y_2+\beta_2z_1+\beta_3z_2+\delta_1\hat{\nu}_2+\varepsilon_1 \ , y1=β0+β1y2+β2z1+β3z2+δ1ν^2+ε1 ,
使用 OLS 估计，根据 t t t 统计量检验 δ 1 = 0 \delta_1=0 δ1=0 。如果 δ 1 \delta_1 δ1 显著为 0 0 0 ，则 y 2 y_2 y2 为同期外生变量。

联立方程问题

英文解释为 Simultaneous Equations——互为因果导致的内生性问题：

Y 1 = β 0 + β 1 Y 2 + β 2 Z 2 + ε , Y_1=\beta_0+\beta_1 Y_2+\beta_2 Z_2 +\varepsilon \ , Y1=β0+β1Y2+β2Z2+ε ,

Y 2 = γ 0 + γ 1 Y 1 + γ 2 X 2 + u . Y_2=\gamma_0+\gamma_1 Y_1+\gamma_2 X_2 +u \ . Y2=γ0+γ1Y1+γ2X2+u .

其中 Z 2 Z_2 Z2 和 X 2 X_2 X2 都是外生变量， E ( ε ∣ Z 2 , X 2 ) = 0 {\rm E}(\varepsilon|Z_2,\,X_2)=0 E(ε∣Z2,X2)=0， E ( u ∣ Z 2 , X 2 ) = 0 {\rm E}(u|Z_2,X_2)=0 E(u∣Z2,X2)=0 ，结构方程的因变量 Y 1 Y_1 Y1 和 Y 2 Y_2 Y2 都是内生变量，有联立方程系统（SES）决定。此时，通过 OLS 估计任何一个结构方程都得不到结构型参数的一致且无偏的估计量。

假设 ε \varepsilon ε 和 u u u 相互独立，且假设 γ 1 β 1 ≠ 1 \gamma_1\beta_1\neq1 γ1β1=1 ，这意味着两个结构方程不应该描述两个内生变量相同的结构关系。

可以得到以下推论：

若 γ 1 ≠ 0 \gamma_1\neq0 γ1=0 ，则有 E ( ε ∣ Y 2 ) ≠ 0 or constant {\rm E}(\varepsilon|Y_2)\neq0\ \text{or} \ \text{constant} E(ε∣Y2)=0 or constant .
若 β 1 ≠ 0 \beta_1\neq0 β1=0 ，则有 E ( u ∣ Y 1 ) ≠ 0 or constant {\rm E}(u|Y_1)\neq0\ \text{or} \ \text{constant} E(u∣Y1)=0 or constant .

推论的证明如下：

把 Y 1 Y_1 Y1 代入到 Y 2 Y_2 Y2 的结构方程中，
Y 2 = γ 0 + γ 1 ( β 0 + β 1 Y 2 + β 2 Z 2 + ε ) + γ 2 X 2 + u , Y_2=\gamma_0+\gamma_1(\beta_0+\beta_1Y_2+\beta_2Z_2+\varepsilon)+\gamma_2X_2+u \ , Y2=γ0+γ1(β0+β1Y2+β2Z2+ε)+γ2X2+u ,
求解 Y 2 Y_2 Y2 得到：
Y 2 = γ 0 + γ 1 β 0 1 − γ 1 β 1 + γ 1 β 2 1 − γ 1 β 1 Z 2 + γ 2 1 − γ 1 β 1 X 2 + γ 1 ε 1 − γ 1 β 1 + u 1 − γ 1 β 1 , Y_2=\frac{\gamma_0+\gamma_1\beta_0}{1-\gamma_1\beta_1}+\frac{\gamma_1\beta_2}{1-\gamma_1\beta_1}Z_2+\frac{\gamma_2}{1-\gamma_1\beta_1}X_2+\frac{\gamma_1\varepsilon}{1-\gamma_1\beta_1}+\frac{u}{1-\gamma_1\beta_1} \ , Y2=1−γ1β1γ0+γ1β0+1−γ1β1γ1β2Z2+1−γ1β1γ2X2+1−γ1β1γ1ε+1−γ1β1u ,
因此有
E ( Y 2 ε ) = E ( γ 1 ε 2 ) 1 − γ 1 β 1 = γ 1 σ ε 2 1 − γ 1 β 1 ≠ 0 . {\rm E}(Y_2\varepsilon)=\frac{{\rm E}(\gamma_1\varepsilon^2)}{1-\gamma_1\beta_1}=\frac{\gamma_1\sigma_\varepsilon^2}{1-\gamma_1\beta_1}\neq0\ . E(Y2ε)=1−γ1β1E(γ1ε2)=1−γ1β1γ1σε2=0 .
同理可以求解 Y 1 Y_1 Y1 得到
Y 1 = β 0 + β 1 γ 0 1 − γ 1 β 1 + γ 2 β 1 1 − γ 1 β 1 Z 2 + β 2 1 − γ 1 β 1 X 2 + β 1 u 1 − γ 1 β 1 + ε 1 − γ 1 β 1 , Y_1=\frac{\beta_0+\beta_1\gamma_0}{1-\gamma_1\beta_1}+\frac{\gamma_2\beta_1}{1-\gamma_1\beta_1}Z_2+\frac{\beta_2}{1-\gamma_1\beta_1}X_2+\frac{\beta_1u}{1-\gamma_1\beta_1}+\frac{\varepsilon}{1-\gamma_1\beta_1} \ , Y1=1−γ1β1β0+β1γ0+1−γ1β1γ2β1Z2+1−γ1β1β2X2+1−γ1β1β1u+1−γ1β1ε ,

E ( Y 1 u ) = E ( β 1 u 2 ) 1 − γ 1 β 1 = β 1 σ u 2 1 − γ 1 β 1 ≠ 0 . {\rm E}(Y_1u)=\frac{{\rm E}(\beta_1u^2)}{1-\gamma_1\beta_1}=\frac{\beta_1\sigma_u^2}{1-\gamma_1\beta_1}\neq0 \ . E(Y1u)=1−γ1β1E(β1u2)=1−γ1β1β1σu2=0 .

求解 Y 1 Y_1 Y1 和 Y 2 Y_2 Y2 之后的方程被称为约简型方程，需要注意以下两点：

约简型方程是关于外生解释变量的方程；
约简型方程没有经济学解释。

在当前的模型设定下， X 2 X_2 X2 可以作为 Y 2 Y_2 Y2 的工具变量， Z 2 Z_2 Z2 可以作为 Y 1 Y_1 Y1 的工具变量。

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