抛物线 f ( x ) = a x 2 f(x)=ax^2 f(x)=ax2的中点Bresenham算法

语言：matlab

画图：plot

1 抛物线的特征

通常定义抛物线为到一条直线（准线）和直线外一点（焦点）距离相等的点的集合。这里只讨论顶点为原点，沿纵坐标轴对称且开口向上的情况。而对于其他情况可以通过图形的平移和旋转等线性变换得到。其描述方程如下：
F ( x , y ) = y − a x 2 ( a > 0 ) F(x,y)=y-ax^2(a>0) F(x,y)=y−ax2(a>0)
与椭圆不同，抛物线是无边界的非封闭图形，若要在屏幕上绘制，必须给定坐标范围，以绘制指定抛物线的一个片段。可以在函数中设置参数 x m xm xm，则横坐标约束其范围为 [ − x m , x m ] [-xm,xm] [−xm,xm]。

抛物线关于纵坐标轴对称，故只需绘制其第一象限内的点，第二象限中的点可以通过对称得到。

为确定最大位移方向，考虑抛物线的斜率范围。在第一象限，其上一点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的斜率为：
k ( x ) = ∂ F ( x , y ) ∂ x = 2 a x ∈ [ 0 , + ∞ ) k(x)=\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=2ax \in [0,+\infty) k(x)=∂x∂F(x,y)=2ax∈[0,+∞)

又由于斜率的变化率为：
d k ( x ) d x = d ( 2 a x ) d x = 2 a > 0 \frac {dk(x)}{dx}=\frac {d(2ax)}{dx}=2a>0 dxdk(x)=dxd(2ax)=2a>0

所以在第一象限内，抛物线斜率从0开始随 x x x递增至正无穷。用斜率为1的点对图形进行划分。容易解出，当斜率为1时， x = 1 2 a x=\frac {1}{2a} x=2a1。只需沿 x x x轴绘制图形，其 0 < x < 1 2 a 0<x<\frac {1}{2a} 0<x<2a1时，最大位移方向为 x x x方向； 1 2 a < x < x m \frac {1}{2a}<x<xm 2a1<x<xm时，最大位移方向为 y y y方向。

2 算法推导过程

假定当前与抛物线距离最近者已确定为 P ( x i , y i ) P(x_i,y_i) P(xi,yi)那么在抛物线前部分时，下一候选点是 P d ( x i + 1 , y i ) P_d(x_i+1,y_i) Pd(xi+1,yi)和 P d ( x i + 1 , y i + 1 ) P_d(x_i+1,y_i+1) Pd(xi+1,yi+1);而在抛物线的后半部分时，下一候选点是 P l ( x i , y i + 1 ) P_l(x_i,y_i+1) Pl(xi,yi+1)和 P r ( x i + 1 , y i + 1 ) P_r(x_i+1,y_i+1) Pr(xi+1,yi+1)。仍然使用中点进行判别候选点。

2.1 推导前半部分的抛物线绘制公式

对于 0 < x < 1 2 a 0<x<\frac {1}{2a} 0<x<2a1:构造判别式
d l i = F ( x i + 1 , y i + 0.5 ) = y i + 0.5 − a ( x i + 1 ) 2 d_{li}=F(x_i+1,y_i+0.5)=y_i+0.5-a(x_i+1)^2 dli=F(xi+1,yi+0.5)=yi+0.5−a(xi+1)2
若 d l i ≥ 0 d_{li}\ge 0 dli≥0，中点在抛物线上方，应选取 P d ( x i + 1 , y i ) P_d(x_i+1,y_i) Pd(xi+1,yi)，反之选取 P u ( x i + 1 , y i + 1 ) P_u(x_i+1,y_i+1) Pu(xi+1,yi+1)。

误差项递推：

在 d l i ≥ 0 d_{li}\ge 0 dli≥0时，应计算：
d l ( i + 1 ) = F ( x i + 2 , y i + 0.5 ) = y i + 0.5 − a ( x i + 2 ) 2 = d l i + a [ ( x i + 1 ) 2 − ( x i + 2 ) 2 ] = d l i − 2 a x i − 3 a d_{l(i+1)}=F(x_i+2,y_i+0.5)\\ =y_i+0.5-a(x_i+2)^2\\ =d_{li}+a[(x_i+1)^2-(x_i+2)^2]\\ =d_{li}-2ax_i-3a\\ dl(i+1)=F(xi+2,yi+0.5)=yi+0.5−a(xi+2)2=dli+a[(xi+1)2−(xi+2)2]=dli−2axi−3a
在 d l i < 0 d_{li}< 0 dli<0时，应计算：
d l ( i + 1 ) = F ( x i + 2 , y i + 1.5 ) = y i + 1.5 − a ( x i + 2 ) 2 = d l i − 2 a x i − 3 a + 1 d_{l(i+1)}=F(x_i+2,y_i+1.5)\\ =y_i+1.5-a(x_i+2)^2\\ =d_{li}-2ax_i-3a+1\\ dl(i+1)=F(xi+2,yi+1.5)=yi+1.5−a(xi+2)2=dli−2axi−3a+1
计算判别式的初始值。弧起点为 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)，因此第一个中点为 ( 1 , 0.5 ) (1,0.5) (1,0.5)，对应的判别式为：
d l 0 = y 0 + 0.5 − a ( x 0 + 1 ) 2 = 0.5 − a d_{l0}=y_0+0.5-a(x_0+1)^2=0.5-a dl0=y0+0.5−a(x0+1)2=0.5−a

2.2 推导后半部分的抛物线绘制公式

对于 1 2 a < x < x m \frac {1}{2a}<x<xm 2a1<x<xm:构造判别式
d r i = F ( x i + 0.5 , y i + 1 ) = y i + 1 − a ( x i + 0.5 ) 2 d_{ri}=F(x_i+0.5,y_i+1)=y_i+1-a(x_i+0.5)^2 dri=F(xi+0.5,yi+1)=yi+1−a(xi+0.5)2
若 d r i ≥ 0 d_{ri}\ge 0 dri≥0，中点在抛物线（左）上方，应选取 P l ( x i , y i + 1 ) P_l(x_i,y_i+1) Pl(xi,yi+1)，反之选取 P r ( x i + 1 , y i + 1 ) P_r(x_i+1,y_i+1) Pr(xi+1,yi+1)。

误差项递推：

在 d r i ≥ 0 d_{ri}\ge 0 dri≥0时，应计算：
d r ( i + 1 ) = F ( x i + 0.5 , y i + 2 ) = y i + 2 − a ( x i + 0.5 ) 2 = d r i + 1 d_{r(i+1)}=F(x_i+0.5,y_i+2)\\ =y_i+2-a(x_i+0.5)^2\\ =d_{ri}+1\\ dr(i+1)=F(xi+0.5,yi+2)=yi+2−a(xi+0.5)2=dri+1
在 d r i < 0 d_{ri}< 0 dri<0时，应计算：
d r ( i + 1 ) = F ( x i + 1.5 , y i + 2 ) = y i + 2 − a ( x i + 1.5 ) 2 = d r i − 2 a x i − 2 a + 1 d_{r(i+1)} =F(x_i+1.5,y_i+2)\\ =y_i+2-a(x_i+1.5)^2\\ =d_{ri}-2ax_i-2a+1\\ dr(i+1)=F(xi+1.5,yi+2)=yi+2−a(xi+1.5)2=dri−2axi−2a+1
计算判别式的初始值。弧起点横坐标为 ⌈ 1 2 a ⌉ \lceil \frac{1}{2a} \rceil ⌈2a1⌉,对应的判别式为：
d r 0 = y 0 + 1 − a ( x 0 + 0.5 ) 2 = 1 − a ⌈ 1 2 a ⌉ − 0.25 a d_{r0}=y_0+1-a(x_0+0.5)^2=1-a\lceil \frac{1}{2a} \rceil-0.25a dr0=y0+1−a(x0+0.5)2=1−a⌈2a1⌉−0.25a

算法代码（matlab）

function DrawBresenhamCurve(a,xm)div=0.5/a;x=0,y=0;d_pre=0.5-a;d_post=1-a*ceil(0.5/a)-0.25*a;while x<=xmplot(x,y);hold on;plot(-x,y);hold on;if x<divtmp=-2*a*x-3*a;x++;if d_pre<0y++;d_pre=d_pre+tmp+1;elsed_pre=d_pre+tmp;endifelsetmp=-2*a*x-2*a+1;y++;if d_post<0d_post=d_post+1;elsed_post=d_post+tmp;x++;endifendifendwhile
end

运行情况：

测试代码：

a=0.01;
xm=100;
DrawBresenhamCurve(a,xm);
X=linspace(-xm,xm,1000);
Y=a.*X.^2.;
plot(X,Y);
grid on;

运行结果（点为算法生成的点集，曲线为所拟合的实际曲线）：

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