0-1背包问题（0-1 knapsack problem）c++实现

文章目录

1 问题描述
2 基本原理
3代码实现

1 问题描述

有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有一给定最大载重的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和而又不超过最大载重？
比如：

商品	1	2	3	4	5
重量	1	2	3	4	5
价值	3	4	5	6	7

假设背包最大载重为8，可以求得以下两种最优方案

商品1 商品2 商品5
总价值：14
总重量：8 <= 最大载重

商品1 商品3 商品4
总价值：14
总重量：8 <= 最大载重

2 基本原理

定义数组V[0…n][0…maxWeight]

其中，n表示商品的总数，maxWeight表示背包的最大载重量。

定义V[i][w]为包含前i件商品且最大载重为w时的子问题的最优方案的总价值。

只需要讨论当前商品i是否可能在当前子问题的最优方案中便可以得到以下递推式：

若 weigth[i] > w, 即当前商品i太重了，故不可能出现在当前子问题的最优方案里，因此
V[i][w] = V[i-1][w]

//若 weigth[i] <= w ,则说明当前商品i可能在当前子问题的最优方案中，因此需要做比较选择，故有
V[i][w] = max( V[i-1][w] , V[i-1][w-weigth[i]] + value[i] )

3代码实现

利用上面的递推式便能使用动态规划算法解决问题！
c++代码如下：

//Albert Chow 2020.08.30
# include <iostream>
using namespace std;/***********************************************************************************/
//用于动态创建二维数组
//利用了模板
template<typename T>
T** buildArray2D(int row, int column)
{T* p = new T[row * column]; //开辟一片临时空间T** a = new T * [row];       //创建行指针for (int i = 0; i < row; i++){a[i] = p + column * i;     //给行指针赋值}return a;};template<typename T>
void deleteArray2D(T** a)
{delete[] * a;delete[] a;
}
/***********************************************************************************///0-1背包问题算法//简单版本,用于理解算法
int knapsack_0_1_v1(int n, int* weigth, int* value, int maxWeight)
{int** V = buildArray2D<int>(n+1, maxWeight+1); //动态创建一个二维数组//其中A[i][w] 表示 包含前i件商品，最大重量为w时的子问题的最大价值//因此可分最优方案包不包含当前商品i而得到如下的递推式：//若 weigth[i] > w, 即当前商品i太重了，故不可能出现在当前子问题的最优方案里，因此//V[i][w] = V[i-1][w]//若 weigth[i] <= w ,则说明当前商品i可能在当前子问题的最优方案中，因此需要做比较选择//V[i][w] = max(  V[i-1][w]  ,  V[i-1][w-weigth[i]] + value[i]  )//根据以上的递推式设计自底向上的dp算法如下：int i,w;//对V做下初始化for (w = 0; w <= maxWeight; w++)V[0][w] = 0;for (i = 1; i <= n; i++)V[i][0] = 0;for(i = 1;i<=n;i++)for (w = 1; w <= maxWeight; w++){if (weigth[i -1] > w)    //当前商品大于背包容量时的递推式{V[i][w] = V[i - 1][w];  }else     //当前商品可能出现在最优解里面的递推式{//V[i][w] = max(  V[i-1][w]  ,  V[i-1][w-weigth[i]] + value[i]  )//注意cpp中数组下标从0开始if ( V[i - 1][w] > (V[i - 1][w - weigth[i - 1]] + value[i - 1]) ){V[i][w] = V[i - 1][w];}else{V[i][w] = V[i - 1][w - weigth[i - 1]] + value[i - 1];}}}int res = V[n][maxWeight];deleteArray2D<int>(V);//手动释放内存return res;
}//原理同v1，只是在内存上作了优化
int knapsack_0_1_v2(int n, int* weigth, int* value, int maxWeight)
{int* V = new int[maxWeight + 1];int i, w;//对V做下初始化for (w = 0; w <= maxWeight; w++)V[w] = 0;for (i = 1; i <= n; i++)//为了防止数据覆盖，这里w采用逆序//由于w < weigth[i - 1]时 无需更新数组，因此w的遍历只到weigth[i - 1]for (w = maxWeight; w >= weigth[i - 1]; w--)  {     if (V[w - weigth[i - 1]] + value[i - 1] > V[w]){V[w] = V[w - weigth[i - 1]] + value[i - 1];}}int res = V[maxWeight];delete[] V;return res;
}//定义一个结构体，用于函数返回多个变量
typedef struct
{int val;bool** choice;
} RES;//原理同v1，只是为重现最优解做了一些修改
RES knapsack_0_1_v3(int n, int* weigth, int* value, int maxWeight)
{int** V = buildArray2D<int>(n + 1, maxWeight + 1); //动态创建一个二维数组bool **choice = buildArray2D<bool>(n, maxWeight);int i, w;//对V做下初始化for (w = 0; w <= maxWeight; w++)V[0][w] = 0;for (i = 1; i <= n; i++)V[i][0] = 0;for (i = 1; i <= n; i++)for (w = 1; w <= maxWeight; w++){if (weigth[i - 1] > w)    //当前商品大于背包容量时的递推式{V[i][w] = V[i - 1][w];choice[i -1][w -1] = 0;  //注意c语言下标从0开始}else     //当前商品可能出现在最优解里面的递推式{//V[i][w] = max(  V[i-1][w]  ,  V[i-1][w-weigth[i]] + value[i]  )//注意cpp中数组下标从0开始if (V[i - 1][w] > (V[i - 1][w - weigth[i - 1]] + value[i - 1])){V[i][w] = V[i - 1][w];choice[i - 1][w - 1] = 0;}else{V[i][w] = V[i - 1][w - weigth[i - 1]] + value[i - 1];choice[i - 1][w - 1] = 1;}}}RES res;res.val = V[n][maxWeight];res.choice = choice;//手动释放内存deleteArray2D<int>(V);return res;
}//原理同v2，只是为重现最优解做了一些修改，注意多与v3对比
RES knapsack_0_1_v4(int n, int* weigth, int* value, int maxWeight)
{int* V = new int[maxWeight + 1];bool** choice = buildArray2D<bool>(n, maxWeight);int i, w;//对V做下初始化for (w = 0; w <= maxWeight; w++)V[w] = 0;for (i = 1; i <= n; i++){//为了防止数据覆盖，这里w采用逆序//由于w < weigth[i - 1]时 无需更新数组，因此w的遍历只到weigth[i - 1]for (w = maxWeight; w >= weigth[i - 1]; w--){if (V[w - weigth[i - 1]] + value[i - 1] > V[w]){V[w] = V[w - weigth[i - 1]] + value[i - 1];choice[i - 1][w - 1] = 1;}elsechoice[i - 1][w - 1] = 0;}for (w = weigth[i - 1]-1; w>=1; w--)  //补零choice[i -1][w -1] = 0;}RES res;res.val = V[maxWeight];res.choice = choice;delete[] V;return res;
}//仿照算法导论p225的程序得到的
void printKnapsack(bool** choice, int *weight,int i,int w)
{if (i == 0 || w == 0)return;if (choice[i -1][w -1] == 1){printKnapsack(choice, weight,  i - 1,  w - weight[i - 1] );cout << "商品" << i << " ";}else{printKnapsack(choice, weight, i - 1, w);}
}int main()
{//可以自己修改数据验证算法是否正确// 1  2  3  4  5  6  7  8   9   10int weight[]  = {1, 2, 3, 4, 5};int value[]   = {3, 4, 5, 6, 7};int n = sizeof(weight)/sizeof(weight[0]);int maxWeight = 8;/************************************************************************/int r1 = knapsack_0_1_v1(n,weight, value, maxWeight);cout << r1 << endl;int r2 = knapsack_0_1_v2(n, weight, value, maxWeight);cout << r2 << endl;RES r3 = knapsack_0_1_v3(n, weight, value, maxWeight);cout << r3.val << endl;printKnapsack(r3.choice, weight, n, maxWeight);deleteArray2D<bool>(r3.choice);cout << endl;RES r4 = knapsack_0_1_v4(n, weight, value, maxWeight);cout << r4.val << endl;printKnapsack(r4.choice, weight, n, maxWeight);deleteArray2D<bool>(r4.choice);cout << endl;return 0;
}

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