Dynamic Programming 01 —knapsack problem（动态规划背包问题）

首先引入动态变化的含义：为什么要有动态规划？

Introduction：

从斐波那契函数的递归中我们发现，在例子求fib（7）的过程中，我们需求得fib（5）和fib（6），而我们在求fib（6）的时候必然需要求fib（5），因此我们会重复进行两遍fib（5）的操作，所以对我们程序的时间和空间都造成巨大浪费，且此程序的时间复杂度高达O（2^n），这是非常可怕的指数型复杂度。所以我们引入了动态规划。如图所示，如果我们对fib（5）等类似以及求过的结果进行存储，那么我们的时间复杂度降至了O（n），极大程度提高了程序的效率。

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。

接下来引入最为著名的动态规划的入门问题：背包问题（knapsack problem）：

问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。

首先我们创建一个数组dp[i][w]代表：对前i个物品，当背包的承重为w是，所能装下的物品的最高价格。且我们很容易知道dp[0][...]和dp[...][0]等于0。而这两组数组也是我们进行动态变化的初值。

然后我们要进行判断，首先我们把物品的个数定为确定的值i，然后对w进行不断递增，对于dp[i][w]来说，他的最大值可以进行如下的讨论：

如果我们装下第i个物品，即w的值必须大于该物品的重量，然后我们装下这个物品后，剩余的空间为w-wt[i]，我们就假设又拿了一个包，这个包的容量是w-wt[i]，且只能装i-1个物品，那么我们就得到了此时的总价值为：该物品i的价值加上承重为w-wt[i]条件下前面i-1个物品的总价值val[i-1]+dp[i-1][w-wt[i]]

如果我们不装下第i个物品，那么我们的目标值就是除去第i个物品的最大值，即dp[i-1][w]

最后我们比较dp[i-1][w]和val[i-1]+dp[i-1][w-wt[i]]的值，最大值即为dp[i][w]，当w到达最大值后，i++，然后循环往复上述操作，知道dp[N][W]赋值完毕，返回dp[N][W]即可

最后附上Java代码

public class Package {public int knapsack(int W, int N, int[] wt, int[] val) {//W为背包容量，N为物品个数int [][] dp = new int[N+1][W+1];for(int i =1;i<=N;i++) {for(int w = 1;w<=W;w++) {if(w-wt[i-1]<0) {dp[i][w]=dp[i-1][w];}else {dp[i][w] = Math.max(dp[i-1][w-wt[i-1]]+val[i-1], dp[i-1][w]);}}}return dp[N][W];}}

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