问题描述

具体的问题描述请参考以下链接：

[Algorithmic Toolbox学习笔记][week3]战利品的最大价值_Karen_AMPM的博客-CSDN博客假设小偷有一个背包只能放下一定重量的货物。如果他来到一家商店，商店里有不同的商品（已知数量和单价）。那么小偷在背包重量有限的情况下，拿走哪些商品才能保证在背包允许的最大重量下商品总价值最高呢？https://blog.csdn.net/Karen_AMPM/article/details/126730940?spm=1001.2014.3001.5501

假设我们有以下一组数据：

背包可承受的最大重量：10kg

item重量和价值如下：

weight value

item1 5kg 60元 --> 指5kg item1的价值为60元

item2 3kg 50元

item3 2kg 70元

item4 1kg 30元

在上方链接的文章中，当我们要去计算能够被拿走的物品的最大价值的时候，我们使用的是物品的单价（即每千克这个物品的价值是多少），然后去做Greedy Algorithm的计算，即当有5kg item1的时候我们可以只拿走2kg。因此如果使用链接中的代码来运行的话，背包中应该放如下物品：

2kg 的 item3 --> value is 2 x 35 = 70
1kg 的 item4 --> value is 1 x 30 = 30
3kg 的 item2 --> value is 3 x 16.666 = 50
4kg 的 item1 --> value is 4 x 12 = 48

最大价值等于 198

但是，0/1 Knapsack Problem与上方问题不同的是，0/1 Knapsack Problem需要解决的是如何在不拆分物品的条件下去计算出物品的最大价值。比如现有5kg的item1价值60元，那么我们在拿的时候，要么5kg全部拿走，要么不拿，即不能像上面的例子中只拿走4kg。

Knapsack Problem算法解析

分两种情况来解析：

Knapsack with repetitions：指不限制每一个item的组合（重量和价格）的数量。

Knapsack without repetitions （use dynamic programming）：指每一个item的组合只有一个。

假设我们有以下一组数据：

weight_list = [5, 3, 2, 1]
value_list = [60, 50, 70, 30]

比如同样针对这组数据，当背包最大承受重量为4kg的时候：

Knapsack with repetitions：我们可以用2组item3（总重量等于4kg），此时的最大价值为140元。
Knapsack without repetitions：由于每组item只能使用1次，因此选择item3和item4，此时背包里的总重量为3kg，且最大价值为70+30=100元

Knapsack with repetitions

上图中的W表示背包允许的最大重量，那么我们可以知道要求 maxvalue ( W )，我们实际上需要求maxvalue ( W - wi )，由此可见 maxvalue ( W ) = maxvalue ( W - wi ) + vi。

举例说明：

针对上方给出的物品价值和重量，如果背包最大重量为3，那么我们应该怎么做？

首先，当W = 3的时候，此时：
当 i = 0 的时候，wi = w[0] = 5, vi = v[0] = 60 -->由于5超出了最大重量，因此这种情况不考虑
当 i = 1 的时候，wi = w[1] = 3, vi = v[0] = 50 -->maxvalue(3) = maxvalue(3-3) + 50

当 i = 2 的时候，wi = w[2] = 2, vi = v[0] = 70 -->maxvalue(3) = maxvalue(3-2) + 70

当 i = 3 的时候，wi = w[3] = 1, vi = v[0] = 30 -->maxvalue(3) = maxvalue(3-1) + 30

--

此时出现了3个分支：

1. 求maxvalue(0) --> 由于当背包重量为0的时候，其最大价值也为0，因此maxvalue(0) = 0

2. 求maxvalue(1) --> 由于w[0-3]中只有w[3] <= 1，因此此分支下只有一个分支：
2.1 maxvalue(1) = maxvalue(0) + 30 = 30

3. 求maxvalue(2) --> 由于w[0-3]中有w[2]和w[3] <= 2，因次此分支下又有两个分支：
3.1 maxvalue(2) = maxvalue(2-2) + 70 = maxvalue(0) + 70

3.2 maxvalue(2) = maxvalue(2-1) + 30 = maxvalue(1) + 30

----

用树形图来表示的话：

--------

由此可知当W = 3的时候，我们实际上有四种可以考虑的情况：

1. 3 = 3 + 0 --> 对应的价值为 50
2. 3 = 1 + 2 --> 对应的价值为 100
3. 3 = 1 + 0 + 2 --> 对应的价值为 100
4. 3 = 1 + 1 + 1 --> 对应的价值为 90

通过比较我们可以知道，此时的最大价值为100。

用python3来实现这个逻辑的话，我们会得到：

def maxvalue(W, wt, val):if W == 0: return 0if len(wt) == 0: return 0for w in range(1, W+1):bigvalue = 0for i in range(0, len(wt)):wi = wt[i]vi = val[i]if wi <= w:left_weight = w - witotal_value = maxvalue(left_weight, wt, val) + viif total_value > bigvalue:bigvalue = total_valuereturn bigvaluewight = 3 # allowed weight of the packpack
weight_list = [6, 3, 4, 2]
value_list = [30, 14, 16, 9]print(maxvalue(wight, weight_list, value_list))

Knapsack without repetitions

当item的组合不允许被重复使用的时候，此时我们应该怎么求解这个问题？
答案就是使用dynamic programming来解决。

假设背包可承受的最大重量为5kg，那么要解决5这个问题，我们首先解决当最大可承受重量为4的时候物品的最大价值；要解决4这个问题，我们要先解决3，...，直到0。那么通过子问题的答案，我们就能够一步一步倒推到主问题的答案。

我们先画下面这样一个表格。表格中的A表示当背包允许的最大重量为3的时候，如果我们只有item1，item2，item3，那么此时可以带走的物品的最大价值是多少？表格中的B表示当背包允许的最大重量为5的时候，如果我们只有item1，那么此时可以带走的物品的最大价值是多少？

针对第一行：
由于单元格中我们要填写的内容是当背包最大重量为W的时候，在只有item1的情况下能够构成的最大价值。

我们知道item1的重量为5，因此只有当W=5的时候才能够放入item1，因此当W=5的时候，maxvalue = v(item1) = 60。而当W=4 或 3，2，1，0的情况下，重量不足以放下item1，因此无法选择item1，所以此时的最大价值为0。

针对第二行：

由于单元格中我们要填写的内容是当背包最大重量为W的时候，在只有item1和item2的情况下能够构成的最大价值。

1. 当W = 0的时候，此时任何物品都放不下 --> maxvalue = 0

2. 当W = 1的时候，item2放不进去 --> 查看W=1的时候只有item1的时候是否能放入
--> 查看坐标0，1的值 --> maxvalue = v[0，1] = 0

3. 当W = 2的时候，item2放不进去 --> 查看W=2的时候只有item1的时候是否能放入
--> 查看坐标0，2的值 --> maxvalue = v[0，2] = 0

3. 当W = 3的时候，item2可以放进去 --> 此时有两个选择：
3.1 使用item2 --> maxvalue = v(item2) + v(W - w (item2))
= v(item2) + [当W=0时且可用item只有item1时的value]

= v(item2) + [坐标 0,0 的值] = v(item2) + v[0,0] = 50 + 0 = 50

3.2 不使用item2 --> maxvalue = [当W=3时且可用item只有item1时的value]
= [坐标 0,3 的值] = v[0,3] = 60

--> 此时比较这两个maxvalue，可知在使用item2的时候总价值最大，因此单元格填50

4. 当W = 4的时候，同理可知道 maxvalue = v(item2) = 50

5. 当W = 5的时候，item2可以放进去，此时有两个选择：

5.1 使用item2 --> maxvalue = v(item2) + v(W - w (item2))
= v(item2) + [当W=2时且可用item只有item1时的value]
= v(item2) + [坐标 0,2 的值] = v(item2) + v[0,2] = 50 + 0 = 50

5.2 不使用item2 --> maxvalue = [当W=5时且可用item只有item1时的value]
= [坐标 0,5 的值] = v[0,5] = 60

--> 此时比较这两个maxvalue，可知不使用item2的时候总价值最大，因此单元格填60

针对第三行：

由于单元格中我们要填写的内容是当背包最大重量为W的时候，在只有item1,item2和item3的情况下能够构成的最大价值。

1. 当W = 0的时候，此时任何物品都放不下 --> maxvalue = 0

2. 当W = 1的时候，item3放不进去 --> 查看W=1的时候只有item1和item2的时候是否能放入
--> 查看坐标1，1的值 --> maxvalue = v[1,1] = 0

3. 当W = 2的时候，item3可以放进去，此时有两个选择：(具体逻辑请查看当W=3时)

--> maxvalue = v(item3) = 70

3. 当W = 3的时候，item3可以放进去，此时有两种选择：

3.1 使用item3 --> maxvalue = v(item3) + v(W - w (item3))
= v(item3) + [当W=1时且可用item只有item1和item2时的value]

= v(item3) + [坐标 1，1 的值] = v(item3) + v[1,1] = 70 + 0 = 70
3.2 不使用item3 --> maxvalue = [当W=3时且可用item只有item1和item2时的value]
= [坐标 0,5 的值] = v[1,3] = 50

--> 此时比较这两个maxvalue，可知使用item3的时候总价值最大，因此单元格填70

4. 当W = 4的时候，带入3的逻辑可知maxvalue = 70

5. 当W = 5的时候，item3可以放进去，此时有两个分支：

5.1 使用item3 --> maxvalue = v(item3) + v(W - w (item3))
= v(item3) + [当W=3时且可用item只有item1和item2时的value]

= v(item3) + [坐标 1,3 的值] = v(item3) + v[1,3] = 70 + 50 = 120
5.2 不使用item3 --> maxvalue = [当W=5时且可用item只有item1和item2时的value]
= [坐标 1,5 的值] = v[1,5] = 60

--> 此时比较这两个maxvalue，可知使用item3的时候总价值最大，因此单元格填120

同理把第四行也填满后我们会得到下面的表格：

针对上文中红色文字标注出来的坐标：

针对第二行：
求 v[1,5] --> max{ v[0,2] + v(item2), v[0,5] }

针对第三行：
求 v[2,3] --> max{ v[1,1] + v(item3), v[1,3] }
求 v[2,4] --> max{ v[1,2] + v(item3), v[1,4] }
求 v[2,5] --> max{ v[1,3] + v(item3), v[1,5] }

通过以上推演，我们可以得出以下规律，如果我们要求坐标 [i，j] 的值：

注：假设第行 i 对应的item 就为 item i , j 表示背包允许的最大重量

1. 当当前行的item重量大于对应的 j 的时候：

v [ i , j ] = v [ i-1, j ]

2. 否则就有两个选项，然后取大的值：

2.1 使用 i 行的item --> maxvalue = v(item i) + v(j - w (item i))
= v [i-1, j - w(item i)] + v(item i)

2.2 不使用 i 行的item --> maxvalue = v [ i-1 , j ]

用python3来实现这个逻辑的话，我们会得到：

def maxvalue(W, wt, val):if W == 0: return 0if len(wt) == 0: return 0V = [[0 for x in range(W+1)] for x in range(len(wt)+1)]for j in range(1, W+1):bigvalue = 0for i in range(0, len(wt)):wi = wt[i]vi = val[i]if wi > j:V[i][j] = V[i-1][j]else:V[i][j] = max(V[i-1][j], vi + V[i-1][j-wi])return V[len(wt)-1][W]wight = 4 # allowed weight of the packpack
weight_list = [6, 3, 4, 2]
value_list = [30, 14, 16, 9]print(maxvalue(wight, weight_list, value_list))

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