toj1746How Many Sums

这题题目大意是给你一个数，问把这个数拆成若干个数相加，可以有多少种拆法．
开始没甚么思路，后来想到用dp做．
定义状态dp[i][j]为把数字i拆成j个数相加有多少种拆法.
其实有了思路就简单了：拆数字不如合并数字来得容易，把某个数n拆成x(1<=x<=n)份，等价于把n个１随意合并，合并成1到n份．然后看下面:
从例子出发，比如10这个数，我试着拆分，可以分成1~10份．
１．分5~10份时(也就是把n拆成>=n/2份)，其实就相当于从１０个１中拿出0~5个，然后把它们搞一搞，可以两两组合等等，反正不管怎么搞，既然是动态规划，我们根本不需要
在意此等细节，具体来说，分５份时，就是留５个１不动，把其它5个１搞成1到５份，其实就相当于求解把５分成若干个数相加，有多少种分法，这时我们看到了子问题的身影了，所以等价于dp[5][k] k=1,2,...5
分６份，时，就是留６个１不动，拿出剩下的４个１搞一搞，搞成1~4份然后丢向这６个１，由于都是１，所以它们之间是等价的．有dp[4][k],k=1,2,3,4种分法
分７份时，就是留７个１不动，拿出剩下的３个１搞成1~3份再砸那７个１，砸到谁就和谁结合了．．．dp[3][1]+dp[3][2]+dp[3][3]
如此一来，我们可以知道dp[10][j](5<=j<=10) = sum{dp[i-j][k]} (k=1,2,...i-j)
２．分１~４份时(也就是把n拆成<=n/2-1份，小于一半)，就不能和上面那么搞了，因为这时比如我拿出６个１，搞一搞，不能搞成５份然后和剩下的４个１结合，因为只剩４个
不动的１了～～但是我们可以知道，这６个１可以分成1份，２份，３份，最多分４份，所以dp[10][4] = dp[6][k](k=1,2,3,4)
其它也是类似的，然后可以得出dp[10][j](1<=j<=4) = sum{dp[i-j][k]} (k=1,2,...j)
当然，上面两个式子可以合并：dp[10][j](1<=j<=10) = sum{dp[i-j][k]} (1<=k<=max{j, i-j})
３．经过上面的例子分析，得到最终的状态转移方程：dp[i][j] = sum{dp[i-j][k]}, 1<=k<=max{j, i-j}, 1<=j<=i．(j是份数，所以当然是属于[1,n]的)
４．但是故事还没有结束，这题最坑爹的地方在于它的整数可以达到600，从上面累加的夸张程度就可以看出来，这尼玛比斐波那契数列涨得还快！挂了两次，痛定思痛，我是
后来才发现这尼玛随便一个第２００项就爆long long 了！！！所以找了一个大整数的模板，然后乖乖AC．．．大整数部分的模板可以不用在意，直接拿来用就好了，重点还是
后面的dp计算．另外我定义了dp[i][0]为把数字i分成若干份的结果也就是dp[i][0] = dp[i][1]+dp[i][2]+...+dp[i][i-1]+dp[i][i]，这样在把n分成大于n/2份时，
要用到的sum{dp[i-j][k]}, k=1,2,...,i-j就可以直接取用dp[i-j][0]了，因为dp[i-j][0]就等于dp[i-j][1]+dp[i-j][2]+...+dp[i-j][i-j]．#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <bitset>
#include <string>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;class BigNum;
istream& operator>>(istream&,  BigNum&);
ostream& operator<<(ostream&,  BigNum&);#define MAXN 9999
#define MAXSIZE 40
#define DLEN 4class BigNum {
public:int a[MAXSIZE];int len;
public:BigNum(){len = 1;memset(a,0,sizeof(a));}BigNum(const int);BigNum(const char*);BigNum(const BigNum &);BigNum &operator=(const BigNum &);friend istream& operator>>(istream&,  BigNum&);friend ostream& operator<<(ostream&,  BigNum&);BigNum operator+(const BigNum &) const;BigNum operator-(const BigNum &) const;BigNum operator*(const BigNum &) const;BigNum operator/(const int  &) const;BigNum operator^(const int  &) const;int    operator%(const int  &) const;bool   operator>(const BigNum & T)const;bool   operator==(const BigNum & T)const;bool   operator==(const int & t)const;bool   operator>(const int & t)const;
};istream& operator>>(istream& in,  BigNum& b) {char ch[MAXSIZE*4];int i = -1;in >> ch;int l = strlen(ch);int cnt = 0, sum = 0;for (i=l-1;i>=0;) {sum = 0;int t = 1;for (int j = 0;j < 4 && i >= 0;j++, i--, t*=10){sum+=(ch[i]-'0')*t;}b.a[cnt]=sum;cnt++;}b.len = cnt++;return in;
}ostream& operator<<(ostream& out,  BigNum& b) {int i;cout << b.a[b.len - 1];for (i = b.len - 2 ; i >= 0 ; i--){cout.width(DLEN);cout.fill('0');cout << b.a[i];}return out;
}BigNum::BigNum(const int b)
{int c,d = b;len = 0;memset(a,0,sizeof(a));while (d > MAXN){c = d - (d / (MAXN + 1)) * (MAXN + 1);d = d / (MAXN + 1);  a[len++] = c;}a[len++] = d;
}BigNum::BigNum(const char*s)
{int t,k,index,l;memset(a,0,sizeof(a));l=strlen(s);len=l/DLEN;if (l%DLEN)len++;index=0;for (int i=l-1;i>=0;i-=DLEN){t=0;k=i-DLEN+1;if (k<0)k=0;for (int j=k;j<=i;j++)t=t*10+s[j]-'0';a[index++]=t;}
}BigNum::BigNum(const BigNum & T) : len(T.len)
{int i;memset(a,0,sizeof(a));for (i = 0 ; i < len ; i++)  a[i] = T.a[i];
}BigNum & BigNum::operator=(const BigNum & n)
{len = n.len;memset(a,0,sizeof(a));for (int i = 0 ; i < len ; i++)a[i] = n.a[i];return *this;
}BigNum BigNum::operator+(const BigNum & T) const
{BigNum t(*this);int i,big;big = T.len > len ? T.len : len;for (i = 0 ; i < big ; i++){t.a[i] +=T.a[i];if (t.a[i] > MAXN){t.a[i + 1]++;t.a[i] -=MAXN+1;}}if (t.a[big] != 0) t.len = big + 1;else t.len = big;return t;
}BigNum BigNum::operator-(const BigNum & T) const
{int i,j,big;bool flag;BigNum t1,t2;if (*this>T){t1=*this;t2=T;flag=0;}else{t1=T;t2=*this;flag=1;}big=t1.len;for (i = 0 ; i < big ; i++){if (t1.a[i] < t2.a[i]){j = i + 1;while (t1.a[j] == 0) j++;t1.a[j--]--;while (j > i) t1.a[j--] += MAXN;t1.a[i] += MAXN + 1 - t2.a[i];}else t1.a[i] -= t2.a[i];}t1.len = big;while (t1.a[len - 1] == 0 && t1.len > 1){t1.len--;big--;}if (flag)t1.a[big-1]=0-t1.a[big-1];return t1;
}
BigNum BigNum::operator*(const BigNum & T) const
{BigNum ret;int i,j,up;int temp,temp1;for (i = 0 ; i < len ; i++){up = 0;for (j = 0 ; j < T.len ; j++){temp = a[i] * T.a[j] + ret.a[i + j] + up;if (temp > MAXN){temp1 = temp - temp / (MAXN + 1) * (MAXN + 1);up = temp / (MAXN + 1);ret.a[i + j] = temp1;}else{up = 0;ret.a[i + j] = temp;}}if (up != 0)ret.a[i + j] = up;}ret.len = i + j;while (ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1) ret.len--;return ret;
}
BigNum BigNum::operator/(const int & b) const
{BigNum ret;int i,down = 0;for (i = len - 1 ; i >= 0 ; i--){ret.a[i] = (a[i] + down * (MAXN + 1)) / b;down = a[i] + down * (MAXN + 1) - ret.a[i] * b;}ret.len = len;while (ret.a[ret.len - 1] == 0 && ret.len > 1) ret.len--;return ret;
}
int BigNum::operator %(const int & b) const
{int i,d=0;for (i = len-1; i>=0; i--){d = ((d * (MAXN+1))% b + a[i])% b;}return d;
}
BigNum BigNum::operator^(const int & n) const
{BigNum t,ret(1);int i;if (n<0)exit(-1);if (n==0)return 1;if (n==1)return *this;int m=n;while (m>1){t=*this;for ( i=1;i<<1<=m;i<<=1){t=t*t;}m-=i;ret=ret*t;if (m==1)ret=ret*(*this);}return ret;
}
bool BigNum::operator>(const BigNum & T) const
{int ln;if (len > T.len) return true;else if (len == T.len){ln = len - 1;while (a[ln] == T.a[ln] && ln >= 0) ln--;if (ln >= 0 && a[ln] > T.a[ln]) return true;else return false;}else return false;
}bool BigNum::operator==(const BigNum & T) const
{int ln;if (len != T.len) return false;else{ln = len - 1;while (a[ln] == T.a[ln] && ln-- );if (ln < 0) return true;else return false;}
}bool BigNum::operator >(const int & t) const
{BigNum b(t);return *this>b;
}bool BigNum::operator==(const int & t) const
{BigNum b(t);return *this == b;
}/* 上面部分是模板辣 */
const int _DP = 601;
BigNum dp[_DP][_DP];
BigNum tmp(1);int main() {for (int i = 0; i < _DP; ++i) dp[0][i] = tmp; //初始化dp[0][i]为１，为什么呢？其实也可以不用，但是下面就要j<i了for (int i = 1; i < _DP; ++i) {for (int j = 0; j <= (i>>1); ++j) {for (int k = 1; k <= j; ++k)dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i-j][k];dp[i][0] = dp[i][0] + dp[i][j];}for (int j = (i>>1)+1; j <= i; ++j) {//也就是这里，就要j<i了，并且还要令dp[i][i] = 1,然后这个１也要记得加到dp[i][0]中去dp[i][j] = dp[i-j][0];dp[i][0] = dp[i][0] + dp[i][j];}}int n;ios::sync_with_stdio(false);    //stream流加速，但是在toj上貌似效果不明显...while(cin >> n && n) {cout << dp[n][0] << endl;}return 0;
}

当然，本题可以用大进制数，比如千万进制数，可以很方便地处理，并且可以节省很多时间，用类模板，毕竟省事一些...但是很慢，跑了1.01s，如果直接来个亿进制，可以控制到0.02s以内．这里不赘述了．

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