中值定理、不等式与零点问题

知识点

费马定理

设f(x)在x=x0的某邻域U(x0)内有定义，f(x0)是f(x)的一个极值.又设f′(x0)存在设 f ( x ) 在 x = x 0 的某邻域 U ( x 0 ) 内有定义， f ( x 0 ) 是 f ( x ) 的一个极值 . 又设 f ′ ( x 0 ) 存在

设f(x)在x=x_0的某邻域U(x_0)内有定义，f(x_0)是f(x)的一个极值.又设f'(x_0)存在

则有f′(x0)=0 则有 f ′ ( x 0 ) = 0

则有f'(x_0) = 0

罗尔定理

设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，又设f(a)=f(b) 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导，又设 f ( a ) = f ( b )

设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，又设f(a) = f(b)

则存在ξ∈(a,b)使f′(ξ)=0 则存在 ξ ∈ ( a , b ) 使 f ′ ( ξ ) = 0

则存在\xi \in (a,b)使f'(\xi) = 0

拉格朗日中值定理

设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导

设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导

则至少存在一点ξ∈(a,b)使f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a) 则至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ) 使 f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a )

则至少存在一点\xi \in (a,b)使f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a)

柯西中值定理

设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导设 f ( x ) , g ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导

设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导

g′(x)≠0 g ′ ( x ) ≠ 0

g'(x) \ne 0

则至少存在一点ξ∈(a,b)使f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f(ξ)g(ξ) 则至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ) 使 f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ( ξ ) g ( ξ )

则至少存在一点\xi \in (a,b)使\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f(\xi)}{g(\xi)}

泰勒定理

设f(x)在[a,b]上有n阶连续导数,在(a,b)内有n+1阶导数, 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有 n 阶连续导数 , 在 ( a , b ) 内有 n + 1 阶导数 ,

设f(x)在[a,b]上有n阶连续导数,在(a,b)内有n+1阶导数,

x0∈[a,b],x∈[a,b]是任意两点,则至少存在一个ξ介于x0和x之间 x 0 ∈ [ a , b ] , x ∈ [ a , b ] 是任意两点 , 则至少存在一个 ξ 介于 x 0 和 x 之间

x_0 \in [a,b], x\in [a,b]是任意两点,则至少存在一个\xi 介于x_0 和x之间

使得f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+...+ 使得 f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) 1 ! ( x − x 0 ) + f ″ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + . . . +

使得f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... +

f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rn(x),其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1 f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) , 其中 R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1

\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x),其中R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

Rn称为Langrange型余项 R n 称为 L a n g r a n g e 型余项

R_n 称为Langrange型余项

Peano型余项为o((x−x0)n),条件改为(a,b)上n阶可导即可 P e a n o 型余项为 o ( ( x − x 0 ) n ) , 条件改为 ( a , b ) 上 n 阶可导即可

Peano型余项为o((x-x_0)^n),条件改为(a,b)上n阶可导即可

Langrange	Peano
条件	存在n+1阶导数
余项	Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1 R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
用途	用于区间[a,b]上

例题

例题1

设x>0,y>0,证明lnx−lny<x−aax‾‾√ 设 x > 0 , y > 0 , 证明 l n x − l n y < x − a a x

设x>0,y>0,证明lnx - lny

例题2

设0<x<+∞,证明(1+1x)x(1+x)1x≤4,当且仅当x=1时等号成立设 0 < x < + ∞ , 证明 ( 1 + 1 x ) x ( 1 + x ) 1 x ≤ 4 , 当且仅当 x = 1 时等号成立

设0

例题3

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a)=f(b)=0,且f′(x)在(a,b)内严格单调递增设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导， f ( a ) = f ( b ) = 0 , 且 f ′ ( x ) 在 ( a , b ) 内严格单调递增

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，f(a) = f(b) = 0,且f'(x)在(a,b)内严格单调递增

证明在(a,b)内f(x)<0 证明在 ( a , b ) 内 f ( x ) < 0

证明在(a,b)内f(x)

例题4

设f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数，且f″(x)<0.试证明:对于(a,b)内的任意两个不同的设 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内存在二阶导数，且 f ″ ( x ) < 0. 试证明 : 对于 ( a , b ) 内的任意两个不同的

设f(x)在区间(a,b)内存在二阶导数，且f''(x)

x1与x2,以及满足s+t=1,0<s<1的两个整数s与t,均有f(sx1+tx2)>sf(x1)+tf(x2) x 1 与 x 2 , 以及满足 s + t = 1 , 0 < s < 1 的两个整数 s 与 t , 均有 f ( s x 1 + t x 2 ) > s f ( x 1 ) + t f ( x 2 )

x_1与x_2, 以及满足s + t = 1, 0sf(x_1) + tf(x_2)

例题5

设f(x)满足1.在[0,1]上连续，2.在(0,1)内可导，3.有点xi∈(0,1)及设 f ( x ) 满足 1. 在 [ 0 , 1 ] 上连续， 2. 在 ( 0 , 1 ) 内可导， 3. 有点 x i ∈ ( 0 , 1 ) 及

设f(x)满足1.在[0,1]上连续，2.在(0,1)内可导，3.有点x_i \in (0,1) 及

常数pi满足0<pi<1,(i=1,...,n),并且∑i=1npi=1,∑i=1npif(xi)=1,f(1)=1 常数 p i 满足 0 < p i < 1 , ( i = 1 , . . . , n ) , 并且 ∑ i = 1 n p i = 1 , ∑ i = 1 n p i f ( x i ) = 1 , f ( 1 ) = 1

常数p_i 满足 0

试证明至少存在一点ξ∈(0,1),使f′(ξ)=0 试证明至少存在一点 ξ ∈ ( 0 , 1 ) , 使 f ′ ( ξ ) = 0

试证明至少存在一点\xi \in (0,1),使f'(\xi) = 0

例题6

f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1,∫10f(x)dx=2 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续 , ( 0 , 1 ) 内可导 , f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 , ∫ 0 1 f ( x ) d x = 2

f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,f(0) = 0,f(1) = 1 ,\int _0^1 f(x)dx = 2

证明：至少存在一点ξ∈(0,1),使f′(ξ)=0 证明：至少存在一点 ξ ∈ ( 0 , 1 ) , 使 f ′ ( ξ ) = 0

证明：至少存在一点\xi \in (0,1),使f'(\xi) = 0

例题7

设f(x)在[a,b]上可导，且f′(a)f′(b)<0. 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可导，且 f ′ ( a ) f ′ ( b ) < 0 .

设f(x)在[a,b]上可导，且f'(a)f'(b)

试证明至少存在一点ξ∈(a,b)使f′(ξ)=0 试证明至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ) 使 f ′ ( ξ ) = 0

试证明至少存在一点 \xi \in (a,b)使f'(\xi) = 0

例题8

设f(x)与g(x)在区间[a,b]上连续，并设ϕ(x)=g(x)∫baf(x)dx−f(x)∫bag(x)dx 设 f ( x ) 与 g ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续，并设 ϕ ( x ) = g ( x ) ∫ a b f ( x ) d x − f ( x ) ∫ a b g ( x ) d x

设f(x)与g(x)在区间[a,b]上连续，并设 \phi(x) = g(x)\int_a^b f(x)dx - f(x)\int_a^b g(x)dx

试证明存在ξ∈(a,b)使ϕ(ξ)=0 试证明存在 ξ ∈ ( a , b ) 使 ϕ ( ξ ) = 0

试证明存在\xi \in (a,b) 使 \phi(\xi) = 0

例题9

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f(1)=2f(0). 设 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续，在 ( 0 , 1 ) 内可导， f ( 1 ) = 2 f ( 0 ) .

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f(1) = 2f(0) .

试证明至少存在一点ξ∈(0,1)使(1+ξ)f′(ξ)=f(ξ) 试证明至少存在一点 ξ ∈ ( 0 , 1 ) 使 ( 1 + ξ ) f ′ ( ξ ) = f ( ξ )

试证明至少存在一点\xi \in (0,1)使(1+\xi)f'(\xi) = f(\xi)

例题10

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1,常数a>0.证明设 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续，在 ( 0 , 1 ) 内可导，且 f ( 0 ) = 0 , f ( 1 ) = 1 , 常数 a > 0. 证明

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0) = 0 ,f(1) = 1,常数a > 0.证明

(1)存在ξ∈(0,1),使f(ξ)=aa+b ( 1 ) 存在 ξ ∈ ( 0 , 1 ) , 使 f ( ξ ) = a a + b

(1)存在\xi \in (0,1) , 使f(\xi) = \frac{a}{a+b}

(2)存在η,ζ∈(0,1),η≠ zeta,使af′(η)+bf′(ζ)=a+b ( 2 ) 存在 η , ζ ∈ ( 0 , 1 ) , η ≠ z e t a , 使 a f ′ ( η ) + b f ′ ( ζ ) = a + b

(2)存在\eta,\zeta \in (0,1), \eta \ne \ zeta,使\frac{a}{f'(\eta)} + \frac{b}{f'(\zeta)} = a + b

例题11

设常数a>0,讨论a的值，确定曲线y=eax与曲线y=x2在第一象限中交点的个数设常数 a > 0 , 讨论 a 的值，确定曲线 y = e a x 与曲线 y = x 2 在第一象限中交点的个数

设常数a > 0,讨论a的值，确定曲线y = e^{ax}与曲线y = x^2 在第一象限中交点的个数

例题12

设f(x)=xe2x−2x−cosx,讨论它在区间(−∞,+∞)上零点的个数设 f ( x ) = x e 2 x − 2 x − c o s x , 讨论它在区间 ( − ∞ , + ∞ ) 上零点的个数

设f(x) = xe^{2x} - 2x - cosx,讨论它在区间(- \infty , + \infty)上零点的个数

例题13

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且不是一次式设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续，在 ( a , b ) 内可导，并且不是一次式

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，并且不是一次式

证明至少存在一点ξ∈(a,b)使|f′(ξ)|>|f(b)−f(a)b−a| 证明至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ) 使 | f ′ ( ξ ) | > | f ( b ) − f ( a ) b − a |

证明至少存在一点\xi \in (a,b) 使 |f'(\xi)| > |\frac{f(b) - f(a)}{b - a}|

例题14

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内存在二阶导数，并设f(0)=f(1)=0,max[0,1]f(x)=2 设 f ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续，在 ( 0 , 1 ) 内存在二阶导数，并设 f ( 0 ) = f ( 1 ) = 0 , max [ 0 , 1 ] f ( x ) = 2

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内存在二阶导数，并设f(0) = f(1) = 0,\max_{[0,1]}f(x) = 2

证明存在ξ∈(0,1),使f″(ξ)≤−16 证明存在 ξ ∈ ( 0 , 1 ) , 使 f ″ ( ξ ) ≤ − 16

证明存在\xi \in (0,1),使f''(\xi) \le -16

例题15

求limx−>0tan(tanx)−sin(sinx)x−sinx 求 lim x − > 0 t a n ( t a n x ) − s i n ( s i n x ) x − s i n x

求 \lim_{x -> 0}\frac{tan(tanx) - sin(sinx)}{x - sinx}