查找算法之平衡查找树

前面介绍的算法在最坏的情况下还是很糟糕。这次会介绍一种二分查找树并能保证无论如何构造它，他的运行时间都是对数级别的。理想情况下我们希望能够保持二分查找树的平衡性。但是，在动态插入中保证树的完美平衡的代价太高了。

2-3查找树

我们将一棵标准的二叉查找树中的节点成为2-节点（含有一个键和两条链接），现在我们引入3-节点，它含有两个键和三条链接。

查找

要判断一个键是否在树中，我们先将它和根节点中的键比较。如果它和其中任意一个相等，查找命中；否则我们就根据比较的结果找到指向相应区间的链接，并在其指向的子树中递归的递归查找。如果这个是空链接，查找未命中。

插入

树的平衡：
任何节点的左子树和右子树之间的高度差不能超过1。

上图中（a）是平衡的，（b）是不平衡的，很显然，一个完全不平衡的树，在做查找时，它就是线性级别的性能，而平衡的二叉树，同样的数据量，但有效利用了平衡性，它的查找性能则能降到对数级别。

而动态平衡要求的是要在插入是，时刻保持树的平衡性。

分为几种情况：

向2-节点中插入新键

若未命中的查找结束于一个2-节点，我们只要把这个2节点替换为一个3节点就可以了。

向一棵只有3-节点的树中插入新键

为了新键的插入，首先临时将新键存入该节点中，使之成为一个4-节点。然后很容易就将他转化为一棵由3个2-节点组成的2-3树。

向一棵父节点为2-节点的3-节点中插入新键

假设未命中的查找结束于3-节点，而他的父节点是2-节点。我们先像刚才一样构造一个临时的4-节点并将其分解，但此时我们不会为中键创造一个新的节点，而是将其移动至原来的父节点中。

向一棵父节点为3-节点的3-节点中插入新键

假设未命中的查找结束于一个父节点为3-节点的节点，我们再次和刚才一样构造一个临时的4-节点并分解它，然后将他的中键插入它的父节点中，但父节点也是一个3-节点，因此我们再用这个中键构造一个临时的4-节点，然后在这个节点上进行相同的变换，就这样一直向上不断分解临时4-节点并将中键插入到更高层的父节点。

分解根节点

构造二叉树

总结

尽管我们可以用不同的数据类型表示2-节点和3-节点，但是这种直白的表示方法实现大多数操作并不方便，因为需要处理的情况太多。我们需要维护两种不同类型的节点，将被查找的键和节点中的每个键进行比较，将链接和其他信息从一种节点复制到另一种节点，将节点从一种数据类型转换到另一种类型，等等。不仅需要大量的代码，而且产生的额外开销可能会使算法比标准二叉树更慢。