bzoj1132 [POI2008]Tro（叉积）

bzoj1132 [POI2008]Tro

原题地址：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1132

题意：
平面上有N个点. 求出所有以这N个点为顶点的三角形的面积和 N<=3000

数据范围
N在[3,3000] ，N个点的坐标值在[0,10000]
保留一位小数,误差不超过0.1

题解：
好题。
我想了两种做法，
第一种：考虑一般求多边形面积的方法。

S=S蓝1+S蓝2-S红
其实就是计算每条边的贡献。
对于x以右的点极角排序，
ab 这样的边贡献+1
（保存一个两两边贡献的后缀和）
x与a这样的点连边的贡献就（前面的点的个数-后面的点的个数）

正解：
考虑叉积到底是个什么。
x1y2-x2y1
如果a对于x的坐标（x1,y1），b对于x的坐标（x2,y2）
提个公因数，
x1贡献 ∑y2
y1贡献-∑x2

因为要用叉积算，要保证>0，于是让它有序就行。
先按x排序，枚举每个点，他之右的极角排序，然后存个前缀和算。

一个困扰我很久的点：
第一遍排序:bool cmp1(const Poi &A,const Poi &B){return A.x<B.x;}
结果：WA
第一遍排序:bool cmp1(const Poi &A,const Poi &B){return A.x<B.x||(A.x==B.x&&A.y<B.y);}
结果：AC

一组数据：
（10，1）（10，2）（10，3），（15，2）
正确答案是10.0
但对于第一种排序，显然它对于前三个点的顺序不作要求，
当顺序为：（10，2）（10，3）（10，1），（15，2）时，
答案为 5.0，错了！！！
而对称的（10，2）（10，1）（10，3），（15，2）
答案则是正确的 10.0
为什么？感谢Doggu非常耐心的答疑。
打印出过程发现，同样第一个数取（10，2），那么剩下三个点对于他的坐标分别为：
（5，0）（0，1）（0，-1）
第一种的极角排序：（0，-1）（0，1）（5，0）
正常的极角排序：（0，-1）（5，0）（0，1）
极角排序不对！！！
考虑到我们为了追求常数小，比较极角用的不是atan2，而是叉积：

bool cmp2(const Poi &A,const Poi &B){return A.x*B.y-B.x*A.y>0;}

那么对于（0，-1）和（0，1）他们的叉积为0，其实是互相小于的，一旦比较顺序不对，排序就不对。

因此必须按x为第一关键字，y为第二关键字排，才不会出现这种上下都有的情况。

下次用叉积也要小心了。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const int N=3005;
struct Poi
{int x,y;Poi(){}Poi(int x,int y):x(x),y(y){}
}P[N],v[N];
Poi operator-(const Poi &A,const Poi &B){return Poi(A.x-B.x,A.y-B.y);}
bool cmp1(const Poi &A,const Poi &B){return A.x<B.x||(A.x==B.x&&A.y<B.y);}
bool cmp2(const Poi &A,const Poi &B){return A.x*B.y-B.x*A.y>0;}
int n;
LL ret=0;
void solve()
{sort(P+1,P+n+1,cmp1);for(int i=1;i<n-1;i++){int cnt=0; LL sx=0,sy=0;for(int j=i+1;j<=n;j++){v[++cnt]=P[j]-P[i];}sort(v+1,v+cnt+1,cmp2);for(int j=1;j<=cnt;j++){       ret-=1LL*v[j].x*sy;ret+=1LL*v[j].y*sx;sx+=v[j].x; sy+=v[j].y;}}printf("%lld.%lld\n",ret>>1,5LL*(ret&1));
}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&P[i].x,&P[i].y);solve();return 0;
}

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