【NOI2018】归程（kruskal重构树）

这道题最后会化为这么一个问题：给一张图，每条边都有边权，多组询问，每次给出 u , k u,k u,k，问从 u u u 开始走，只走边权 ≤ k \leq k ≤k 的边，请维护 u u u 能走到的点的集合。

这就需要用到一种叫 kruskal 重构树的东东。

首先可以发现，若 u u u 能走到 v v v，那么 u u u 在最小生成树上也必然能走到 v v v，所以我们只需要在原图的最小生成树上面走即可。

我们考虑用 kruskal 算法构建最小生成树时的过程：假设当前枚举到的边的两个端点所在连通块不同（设这两个连通块的根分别是 a , b a,b a,b），那么我们就新建立一个虚点 c c c，令 c c c 为 a , b a,b a,b 的父亲，令 c c c 的点权为这条边的边权。这也就是相当于把构建并查集的过程给描述出来。

这样建出来的树有许多很好的性质：

这是一棵完全二叉树。
树上的每一个叶子节点对应着最小生成树上的点（即原图的点），每一个非叶子节点对应着最小生成树上的边。
父亲节点的点权大于等于儿子节点的点权（儿子节点非叶子节点），于是这也是一个二叉堆。
两点 u , v u,v u,v 的 l c a lca lca 的点权即为最小生成树上 u u u 到 v v v 路径上的最大边权，但注意两点 u , v u,v u,v 在 kruskal 重构树上的路径所经过的所有非叶子节点所代表的边并不是 u , v u,v u,v 在最小生成树上的路径所经过的边。

对于某个非叶子节点 u u u，若 u u u 的权值严格小于其父亲的权值（加上这个条件是因为有相同边权的存在），那么 u u u 的子树内的所有叶子节点所代表的点就是最小生成树上从 u u u 所代表的的边 e e e 出发、不经过权值比 e e e 大的边所能到达的所有点。
……

那么我们可以先把 kruskal 重构树建出来，然后每次询问时用倍增找到 u u u 的最远的权值小于等于 k k k 的祖先 f f f，那么 f f f 子树内的所有叶子节点即为最小生成树上 u u u 能到达的所有点。

整题的代码如下：

#include<bits/stdc++.h>#define LN 19
#define N 200010
#define M 400010
#define lc(u) ch[u][0]
#define rc(u) ch[u][1]using namespace std;inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');ch=getchar();}return x*f;
}struct Edge
{int u,v,w;Edge(){};Edge(int a,int b,int c){u=a,v=b,w=c;}
}e[M];bool operator < (Edge a,Edge b)
{return a.w>b.w;
}struct data
{int u,s;data(){};data(int a,int b){u=a,s=b;}bool operator < (const data &a) const{return s>a.s;}
};int t,n,m,Q,k,s;
int cnt,head[N],nxt[M<<1],to[M<<1],w[M<<1];
int dis[N];
int rt,node,ch[N<<1][2];
int d[N<<1],fa[N<<1][LN],val[N<<1],minn[N<<1];
int f[N<<1];
bool vis[N];priority_queue<data>q;void adde(int u,int v,int wi)
{to[++cnt]=v;w[cnt]=wi;nxt[cnt]=head[u];head[u]=cnt;
}void dijkstra()
{memset(vis,0,sizeof(vis));memset(dis,127,sizeof(dis));dis[1]=0;q.push(data(1,0));while(!q.empty()){data now=q.top();q.pop();if(vis[now.u]) continue;vis[now.u]=1;for(int i=head[now.u];i;i=nxt[i]){int v=to[i];if(dis[now.u]+w[i]<dis[v]){dis[v]=dis[now.u]+w[i];q.push(data(v,dis[v]));}}}
}int find(int x)
{return x==f[x]?x:(f[x]=find(f[x]));
}void dfs(int u)
{for(int i=1;i<=18;i++)fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];if(!lc(u)&&!rc(u)){minn[u]=dis[u];return;}fa[lc(u)][0]=fa[rc(u)][0]=u;dfs(lc(u)),dfs(rc(u));minn[u]=min(minn[lc(u)],minn[rc(u)]);
}int query(int u,int x)
{for(int i=18;i>=0;i--)if(fa[u][i]&&val[fa[u][i]]>x)u=fa[u][i];return minn[u];
}int main()
{t=read();while(t--){cnt=0;memset(head,0,sizeof(head));n=read(),m=read();for(int i=1;i<=m;i++){int u=read(),v=read(),l=read(),a=read();adde(u,v,l),adde(v,u,l);e[i]=Edge(u,v,a);}dijkstra();sort(e+1,e+m+1);for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i,lc(i)=rc(i)=0;node=n;for(int i=1,tot=0;tot<n-1;i++){int a=find(e[i].u),b=find(e[i].v);if(a!=b){node++;val[node]=e[i].w;f[a]=f[b]=f[node]=node;lc(node)=a,rc(node)=b;tot++;}}rt=node;fa[rt][0]=0,d[rt]=1;dfs(rt);Q=read(),k=read(),s=read();int lans=0;while(Q--){int u=read(),x=read();u=(u+k*lans-1)%n+1;x=(x+k*lans)%(s+1);printf("%d\n",lans=query(u,x));}}return 0;
}

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