二叉树的三种遍历

  • 1. 创建一棵简单的二叉树
    • 1.1 二叉树结构体实现
    • 1.2 创造一个二叉树结点的函数
    • 1.3 手动创造一棵二叉树
  • 2.为什么要遍历?
  • 3.最重要的知识:由二叉树引出的子问题分析
  • 4.遍历
    • 4.1 前序遍历
    • 4.2 中序遍历
    • 4.3 后序遍历
  • 5.总结

1. 创建一棵简单的二叉树

本篇文章重点讲解关于二叉树的几种遍历,所以手动创建一棵二叉树举例子。

1.1 二叉树结构体实现

typedef int data_type; //把数据类型typedef一下,方便随时更换数据类型typedef struct BTreeNode
{data_type x;     //结点要存储的数据struct BTreeNode* left;  //二叉树的左孩子struct BTreeNode* right;  // 二叉树的右孩子
}Node;

1.2 创造一个二叉树结点的函数

本篇文章我们要手动创建一棵二叉树来举例子,所以写一个函数方便创造结点,结点创建好后,我们手动连接结点,就可形成二叉树

Node* buyNode(data_type a) //传入结点的数据
{Node* node = (Node*)malloc(sizeof(Node)); //创造一个结点if (node == NULL) //养成好习惯,判断是否malloc成功{perror("malloc:");exit(-1);}node->x = a; // 结点的值node->left = node->right = NULL; // 结点的左孩子和右孩子都为空return node; //返回这个结点
}

1.3 手动创造一棵二叉树

    Node* n1 = buyNode(1); //1是该结点的值,以此类推Node* n2 = buyNode(2);Node* n3 = buyNode(3);Node* n4 = buyNode(4);Node* n5 = buyNode(5);Node* n6 = buyNode(6);Node* n7 = buyNode(7);n1->left = n2;  //手动连接,结点n1的左孩子是 n2n1->right = n3; // 结点n1的右孩子是 n3n2->left = n4; // 结点n2的左孩子是 n4n2->right = n5; //结点n2的右孩子是 n5n3->left = n6;  //结点n3的左孩子是 n6n4->left = n7;  //结点n4的左孩子是 n7

创建的二叉树逻辑图如下:

我们的二叉树就创建好了,接下来开始用这颗二叉树讲解我们的几种遍历
(实际上创建二叉树并不是这样创建的)

2.为什么要遍历?

我们先来点知识的铺垫:

学习二叉树结构,最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则,依次对二叉树中的节点进行相应的操作,并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一,也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则,二叉树的遍历有:前序/中序/后序的递归结构遍历:

  1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前,前序遍历又叫深度优先遍历(根-左-右)
  2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)。(左-根-右)
  3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。(左-右-根)

由于被访问的结点必是某子树的根,所以N(Node)、L(Left subtree)和R(Right subtree)又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历

3.最重要的知识:由二叉树引出的子问题分析


为什么二叉树这么好用,引出了各种各样的二叉树。
主要是二叉树可以把一个大树分为一棵课子树,让一棵棵子树去解决问题,最终大树的问题得到解决。
也就说,二叉树把一个问题,转化成了规模更小的子问题,子问题解决了,我们最终的问题也就解决了。这是一个非常重要的思想,算法里随处可见。

注意:二叉树里规模最小的问题是 NULL,而不是最后一个结点。
最后一个结点的子问题是NULL,NULL不可再被分解。

也就是说,我们上图中,实际应该是这样的。

这点非常重要 切记!!!

4.遍历

4.1 前序遍历

前序遍历就是 先打印根,再打印左子树和右子树。也就是(根-左-右)
注意是,左子树和右子树,子树还能再被分成更小的子树。

先看代码

void preOrder(Node* root)
{if (root == NULL) // 如果遇到NULL就直接return返回{printf("NULL "); //不打印NULL也可以,我们这里打印,显示最真实的结构return;}printf("%d ", root->x);//遇到根结点就打印preOrder(root->left);//递归进左子树preOrder(root->right);//递归进右子树
}
preOrder(n1);
//1 2 4 7 NULL NULL NULL 5 NULL NULL 3 6 NULL NULL NULL

来画个图感受一下

整个过程就形成了这个看起来像大树根一样的图
这就是前序遍历,也叫深度优先遍历
别小看这个过程,这个过程利用递归,完成了从深入到回溯的过程,遍历了整棵树。其思想是以深度为优先,就是每次先走到最底层,走不下来再返回来,走另外一条路。

接下来以代码模拟一下,以下图可能很长,耐心看一下,自己也可以手动像我这样模拟一下,对理解递归有很大的帮助。
因为上面那个图画起来步骤太烦琐,我们这里举这么一棵树模拟一下
这棵树打印结果是:
1 2 NULL NULL 3 NULL NULL

首先,先解决每一棵左子树,到达NULL后回溯

然后回溯到结点2后,继续递归进入结点2右子树,右子树也是NULL,直接返回,此时结点2的函数执行完成,直接回到n1调用处

到这里为止打印了 1 2 NULL NULL,1的右子树交给读者去自行模拟一下吧~

4.2 中序遍历

中序遍历就是先打印左子树,再打印根,再打印右子树(也就是左-根-右)
整个过程和前序遍历一样可以自行模拟一下。
答案是7 4 2 5 1 6 3 (未打印NULL的情况)

void inOrder(Node* root)
{if (root == NULL){return;}inOrder(root->left);printf("%d ", root->x);inOrder(root->right);
}

4.3 后序遍历

后序遍历就是先打印左子树,再打印右子树,再打印根(也就是左-右-根)
整个过程和前序遍历一样,可以自行模拟一下。
答案是 7 4 5 2 6 3 1 (为打印NULL的情况)

void postOrder(Node* root)
{if (root == NULL){return;}postOrder(root->left);postOrder(root->right);printf("%d ", root->x);
}

5.总结

其实由代码我们可以发现一个规律,printf这个函数位置的规律。
想打印前序遍历,就放在进入左子树和右子树递归前。
想打印中序遍历,就放在中间。
想打印后序遍历,就放在最后。
这个确实是一个很好记忆方法,不过更重要的是知道它的本质。

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