第四章贝叶斯统计推断

5.设某银行为一位顾客服务时间（单位：min)服从指数分布Exp(λ),其中参数的先验分布是均值为0.2、标准差为1.0的伽玛分布．如今对20位顾客服务进行观测，测得平均服务时间是3.8min,分别求λ和1/λ的后验期望估计．

7.设某产品的不合格率θ的先验分布为贝塔分布Be(5,10),在下列顺序抽样信息下逐次寻求θ的后验众数估计和后验期望估计：
（1)先随机抽检20个产品，发现3个不合格品；
（2)再随机抽检20个产品，没有发现1个不合格品．

10.设X1,…,X5为从同一批生产的电子零件中抽取的样本，进行检验以确定其平均寿命．假定Xi~Exp(1/θ),由过去的先验信息可知θ的先验分布为逆伽玛分布参数分别为10,100.令5个具体观测值为5,12,14,10,12,求θ的广义最大似然估计和后验均值估计，以及它们各自的后验方差。

13.对正态总体N(θ,1)作三次观测，获得样本的具体观测值为2,4,3.若θ的先验分布为正态分布N(3,1),求θ的可信水平为0.95的可信区间．

14.接到船运来的一大批零件，从中抽检5件，看有多少次品，假设零件中的次品数X服从二项分布B(5,θ).从以往各批的情况中已知θ的先验分布为贝塔分布Be(1,9),若观测值x=0,求的95% HPD可信区间．

22.对习题13,若θ的取值只有两种可能：θ=3.θ=5.设取3和5的先
验概率分别为π0和π1,且π0+π1=1,求检验问题Ho:=3→H1:=5.

23.在习题14的情况下，要求作检验H0:θ≤0.1→H1:θ>0.1.求这两个假设的后验概率、后验概率比和贝叶斯因子。

28.一天中固定时间在某公共汽车站等公共汽车的等待时间服从均匀分布U(0,θ),假定θ的先验分布为帕雷托分布Pa(5,3).设在此车站观测到等待时间的5个观测值为10,3,2,5,14.求多重检验问题：
Ho:0<≤15, H2:15<≤30, H3:>30
的每个假设的后验概率、后验概率比和贝叶斯因子，并对此检验作出结论。

29.中超联赛中某足球队在当年已进行过的12场比赛中获胜了5场，设θ表示此球队在一场比赛中获胜的概率，假定θ的先验为（0,1)区间上的无信息先验U(0,1),对此足球队在当年剩下的8场比赛获胜的次数作出预测．

32.假设X|p~B(10,p),考虑如下两种模型： M0:p=1/2→M1:p≠1/2
在M1下，考虑以下这三种先验分布：
（1)均匀分布U(0,1);
(2)贝塔分布Be(10,10);
（3)贝塔分布Be(100,10).
如果有5个观测值：0,3,5,7,10,计算模型M0和M1在不同先验下的贝叶斯因子，并据此作出结论。

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