DP之钢管切割，最长回文字符串，最长公共子串

在做LeetCode第3题的时候，用到了DP，但是自己对DP还是不了解，所以翻开算法导论，开始看动态规划喽，学好动态规划，走遍天下都不怕。

钢管切割
对于一根长n米的钢管，每个长度的价格不一样，对于长i米的钢管，价格为p[i],价格表如下所示：

现在问题是，给你一根长为n的钢管，你怎么切割，使得最后总价格最高。
比如：长度为4米的钢管，我们有8种方案，也就是对应着中间3段切不切的排列组合，所以有2^3=8种方案。（4），（1，3），（1，1，2），（1，1，1，1），（2，1，1），（2，2），（3，1），（1，2，1）。
然后比较得出总价最高的方案。
动态规划，意味着解决n的问题，需要解决n-1的问题，获取最优解，需要最优子方方案，也就是最优子结构：问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成，而这些子问题可以独立求解。
所以我们可以得到公式：r[n] = max(p[i] + r[n-i]) ，i=1 to n。
所以自底向上的DP算法：

int dp(int a[], int n) {int *r = new int[n];r[0] = 0;int q = 0;for (int i = 1; i < n; i++) {q = 0;for (int j = i; j > 0; j--) {q = max(q,a[j] + r[i-j]);}r[i] = q;}return r[n-1];
}

3.10 最长回文子字符串
问题：给字符串s，输出最长的回文子字符串。比如‘abcdcbw’,最长回文子字符串‘bcdcb’。
思路：最好的方法是马拉车算法，但是这里希望都用DP。设dp[i][j]为Si-Sj是否回文，则dp[i][j] = (Si==Sj && dp[i+1][j-1]),dp[i][i] = true;

string longestPalindrome(string s) {int len = s.size();bool dp[len][len];dp[len][len] = {false};int longest = 0;int left = 0;for (int i = 0; i < len; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {dp[j][i] = (s[i] == s[j] && (dp[j + 1][i - 1] || i - j < 2));if (dp[j][i] && longest < i - j + 1) {longest = i - j + 1;left = j;}}dp[i][i] = true;}return s.substr(left,longest);}

3.27最长公共子串
思路1：BF暴力搜索。两个字符串s1,s2,比较s1[i]和s2[j]，如果相等，则比较s[i+1],s[j+1],循环下去，记录开始位置和长度，最后返回。

string longestCommonSubstring(string s1,string s2) {int start;int end;int longestNum;int m = s1.size();int n = s2.size();if (m == 0 || n == 0) {return "";}for (int i = 0; i < m; i++) {int k = i;int count = 0;for (int j = 0; j < n; j++) {if (s1[k] == s2[j]) {count++;k++;}else {if (count > longestNum) {longestNum = count;start = i;end = j - 1;}break;}}}return s1.substr(start,longestNum);
}

思路2：DP动态规划。dp[i][j] 为bool型数组，表示以s1[i]和s2[j]为最后元素的子串，是否公共。dp[i][j] = (s[i] == s[j] ? dp[i-1][j-1]+1 : 0)

string longestCommonSubstring1(string s1,string s2) {int m = s1.size();int n = s2.size();vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(n,0));int longest = 0;int end = 0;for (int i = 0; i < m; i++) {if (s1[i] == s2[0]) dp[i][0] = 1;}for (int j = 0; j < n; j++) {if (s2[j] == s1[0]) dp[0][j] = 1;}for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {dp[i][j] = (s1[i] == s2[j] ? dp[i-1][j-1]+1 : 0);if (dp[i][j] > longest) {longest = dp[i][j];end = i;}}}return s1.substr(end - longest + 1,longest);}

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