8421BCD码加法的修正证明

正数表示的两种定义

对于一个正数 n n n我们可以将其以两种形式表示

公式一： n = ∑ i = 0 m A i × 1 0 i , ∀ i ∈ [ 0 , m ] , A i ∈ [ 0 , 9 ] n=\sum_{i=0}^{m}A_i\times 10^i,\forall i\in[0,m],A_i\in[0,9] n=∑i=0mAi×10i,∀i∈[0,m],Ai∈[0,9]

公式二： n = ∑ i = 0 m A i × 1 0 i , ∀ i ∈ [ 0 , m ] , A i ∈ [ 0 , 18 ] n=\sum_{i=0}^{m}A_i\times 10^i,\forall i\in[0,m],A_i\in[0,18] n=∑i=0mAi×10i,∀i∈[0,m],Ai∈[0,18]

修正证明

现设 a , b ≥ 0 a,b\geq0 a,b≥0,用公式一分别表示 a , b a,b a,b得

a = ∑ i = 0 m A i × 1 0 i , ∀ i ∈ [ 0 , m ] , A i ∈ [ 0 , 9 ] a=\sum_{i=0}^{m}A_i\times 10^i,\forall i\in[0,m],A_i\in[0,9] a=∑i=0mAi×10i,∀i∈[0,m],Ai∈[0,9]

b = ∑ i = 0 m B i × 1 0 i , ∀ i ∈ [ 0 , m ] , B i ∈ [ 0 , 9 ] b=\sum_{i=0}^{m}B_i\times 10^i,\forall i\in[0,m],B_i\in[0,9] b=∑i=0mBi×10i,∀i∈[0,m],Bi∈[0,9]

用公式二表示 a , b a,b a,b的和，设 c = a + b = ∑ i = 0 m C i ⋅ 1 0 i , ∀ i ∈ [ 0 , m ] , C i ∈ [ 0 , 18 ] c=a+b=\sum_{i=0}^{m}C_i\cdot 10^i,\forall i\in[0,m],C_i\in[0,18] c=a+b=∑i=0mCi⋅10i,∀i∈[0,m],Ci∈[0,18]

我们将公式二的 C i C_i Ci进行修正使得其在保证值不变的前提下变成公式一的过程称为进位；

在 8421 B C D 8421BCD 8421BCD码下按照二进制加法的规则，我们从低位开始考虑，在考虑当前第 i i i位 C i C_i Ci有三种情况，

一、 C i < = 9 C_i<=9 Ci<=9时，符合公式一，不需要修正；

二、 9 < C i < 16 9<C_i<16 9<Ci<16时，在二进制加法下第 i i i位不会向 i + 1 i+1 i+1位进位，故其不符合公式一。按照最直接的方法进行修正，我们可以将 C i C_i Ci减去四位二进制数 ( 1010 ) 2 (1010)_2 (1010)2（也就是十进制下的 ( 10 ) 10 (10)_{10} (10)10），然后将 C i + 1 C_{i+1} Ci+1加上1，但是在四位二进制数下减去某个数就等于加上这个数的补数，即加上 2 4 − 10 = 6 2^4-10=6 24−10=6,而此时由于有 C i > 9 C_i>9 Ci>9可以得到 C i + 6 > 15 C_i+6>15 Ci+6>15,在二进制下 C i + 6 C_i+6 Ci+6必定会向第 i + 1 i+1 i+1位进位1，即我们可以将修正操作等效为在二进制意义下将 C i C_i Ci代表的四位二进制数加上 ( 0110 ) 2 (0110)_2 (0110)2进行修正；

三、 16 ≤ C i ≤ 18 16\leq C_i \leq 18 16≤Ci≤18时，在二进制下第 i + 1 i+1 i+1位增加了1，但是第 i i i位却减少了16，整体的真实值减少了 16 × 1 0 i − 1 0 i + 1 = 6 × 1 0 i 16\times 10^i-10^{i+1}=6\times 10^i 16×10i−10i+1=6×10i,所以我们可以直接对第 i i i位的 C i C_i Ci加上 ( 0110 ) 2 (0110)_2 (0110)2(也就是十进制下的6)来加以修正；

综述结论

由两个数的 8421 B C D 8421BCD 8421BCD码在二进制意义下相加得到的结果，需要经过如下的修正才能得到两个数相加的正确结果；

我们按照从低位到高位的顺序；对于当前第 i i i位(也就是二进制下的4为) C i C_i Ci：

（1） C i < 10 C_i<10 Ci<10,则无需修正；

（2） C i > = 10 C_i>=10 Ci>=10 或者 C i C_i Ci向第 i + 1 i+1 i+1位有过进位，则须给 C i C_i Ci加上 ( 0110 ) 2 (0110)_2 (0110)2,加以修正；