题意

现在给你一有n个整数的序列a[]，有一个初始为0的值res，重复下面的过程k次：
“随机选择一个[1,n]之间的下标x，res加上所有满足i≠x的a[i]的乘积，然后将a[x]减去1”
问最后res的期望值，对10^9+7取模
n<=5000
k<=10^9

分析

我们把对a[x]的一次操作的贡献看成是

∏a[i]−∏a′[i]∏a[i]−∏a′[i]

\prod a[i]-\prod a'[i]
其中 a′[i]a′[i]a'[i]表示将 a[x]a[x]a[x]减去1后的数组。
不难发现通过连续的操作后，剩下的项就只剩下

∏a[i]−∏(a[i]−b[i])∏a[i]−∏(a[i]−b[i])

\prod a[i]-\prod (a[i]-b[i])
其中 b[i]b[i]b[i]表示 a[i]a[i]a[i]被操作的次数。那么我们要求的就是上述式子的期望。
左边的式子显然是常数，那么只考虑右边的式子。
对于b是数组的每一种取值，对答案的贡献显然是

k!∏(a[i]−b[i])nk∏(b[i])!k!∏(a[i]−b[i])nk∏(b[i])!

\frac{k!\prod(a[i]-b[i])}{n^k\prod (b[i])!}
设生成函数 fi(x)fi(x)f_i(x)表示 b[i]b[i]b[i]取每一种值时对答案的贡献，显然有

fi(x)=∑j>=0(a[i]−j)xjj!fi(x)=∑j>=0(a[i]−j)xjj!

f_i(x)=\sum_{j>=0}\frac{(a[i]-j)x^j}{j!}
化简后得

fi(x)=(a[i]−x)exfi(x)=(a[i]−x)ex

f_i(x)=(a[i]-x)e^x
那么我们要求的答案就是多项式 enx∏(a[i]−x)enx∏(a[i]−x)e^{nx}\prod(a[i]-x)的第k项系数。
右边可以暴力卷积，显然次数为n，左边展开后可以得到

enx=∑i>=0(nx)ii!enx=∑i>=0(nx)ii!

e^{nx}=\sum_{i>=0}\frac{(nx)^i}{i!}
然后继续暴力卷积即可。
时间复杂度 O(n2)O(n2)O(n^2)

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;typedef long long LL;const int N=5005;
const int MOD=1000000007;int n,f[N],k;int ksm(int x,int y)
{int ans=1;while (y){if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;}return ans;
}int dwm(int x,int y)
{int ans=1;while (y--){ans=(LL)ans*x%MOD;x--;}return ans;
}int main()
{scanf("%d%d",&n,&k);f[0]=1;int s=1;for (int i=1;i<=n;i++){int a;scanf("%d",&a);s=(LL)s*a%MOD;for (int j=i;j>=1;j--) f[j]=((LL)f[j]*a%MOD+MOD-f[j-1])%MOD;f[0]=(LL)f[0]*a%MOD;}int ans=0;for (int i=0;i<=min(n,k);i++) (ans+=(LL)ksm(n,k-i)*dwm(k,i)%MOD*f[i]%MOD)%=MOD;ans=(LL)ans*ksm(n,(LL)k*(MOD-2)%(MOD-1))%MOD;ans=(s+MOD-ans)%MOD;printf("%d",ans);return 0;
}

Codeforces 891E Lust 生成函数相关推荐

Codeforces 891E. Lust 生成函数
Solution 每次得到的值可以看做操作后整个序列的乘积减去操作前整个序列的乘积,这样就把问题转化为求最后数列的乘积减去开始数列的乘积. 把式子列出来,设bib_ibi为aia_iai被减去的值 ...
CodeForces 891E Lust（生成函数）
大致题意:给出一个数列{an},每次随机的选择一个数字ai,产生出了ai之外其余所有数字之积的贡献,然后ai减一.现在进行k次这样的操作,问最后者k次操作产生的贡献之和是多少. 这个贡献看起来很复杂, ...
Codeforces 891E Lust
Description 给出一个长度为nn的数组aa,有一个计数器resres,接下来进行kk次操作,每次操作等概率的选择[1,n][1,n]中的某个数ii,然后resres加上∑j≠iaj\sum_ ...
codeforces 891E Lust 题解
题目传送门题目大意: 给出一个长度为 nnn 的序列,进行 kkk 次操作,每次随机选取一个 aia_iai,让答案加上 aaa 序列中的其他数的乘积,然后让 ai−1a_i-1ai−1,问最后 ...
【CF891E】Lust 生成函数
[CF891E]Lust 题意:给你一个长度为n的序列$a_i$,对这个序列进行k次操作,每次随机选择一个1到n的数x,令$res+=\prod\limits_{i!=x}a_i$(一开始res=0) ...
[生成函数][DP] Codeforces 891 E. Lust
SolutionSolutionSolution 设最后是这个样子 a=(ai−bi)a=(ai−bi)\textbf{a}=(a_i-b_i) ,可以通过数学归纳得到 res=∏iai−∏i(ai− ...
【Codeforces 891 E】 Lust（生成函数）
传送门考虑每次贡献可以差分成aj∏i≠jai−(aj−1)∏i≠jaia_j\prod_{i\not=j}a_i-(a_j-1)\prod_{i\not=j}a_iaj∏i=jai−( ...
CodeForces 891 E.Lust（生成函数）
Description 给出一长度为nnn的序列a1,...,an" role="presentation" style="position: relative ...
Lust(Codeforces Round #446 Div.1-891E)(母函数\生成函数)
文章目录题目思路代码题目你有n个数 a1,a2,...,ana_1,a_2,...,a_na1,a2,...,an ,要进行 kkk 次操作,每次在 111 ~ nnn 中随机选择一个 ...

Codeforces 891E Lust 生成函数

题意

分析

代码

Codeforces 891E Lust 生成函数相关推荐

最新文章

热门文章