Codeforces 891E. Lust 生成函数

Solution

每次得到的值可以看做操作后整个序列的乘积减去操作前整个序列的乘积，这样就把问题转化为求最后数列的乘积减去开始数列的乘积。
把式子列出来，设bib_ibi为aia_iai被减去的值，得到E=1nk×k!Πbi!×Π(ai−bi)E={1\over n^k}\times {k!\over \Pi b_i!}\times {\Pi (a_i-b_i)}E=nk1×Πbi!k!×Π(ai−bi)
考虑每个数的贡献，因为最后总共是kkk轮，考虑用生成函数统计贡献，每个函数第iii项表示这个数被减了iii次的贡献，最后把nnn个乘起来，第kkk项就是我们答案。即Fi(x)=∑ai−jjxjFi(x)=\sum {a_i-j\over j}x^jFi(x)=∑jai−jxj
用泰勒展开化简一下，得Fi(x)=(ai−x)exFi(x)=(a_i-x)e^xFi(x)=(ai−x)ex
nnn个相乘得到enxΠ(ai−x)e^{nx}\Pi(a_i-x)enxΠ(ai−x)
把enxe^{nx}enx展开∑(nx)ii!Π(ai−x)\sum {(nx)^i\over i!}\Pi(a_i-x)∑i!(nx)iΠ(ai−x)
至此已经可以暴力算出第kkk项系数了，复杂度O(n2)O(n^2)O(n2)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pa pair<int,int>
const int Maxn=5010;
const int inf=2147483647;
const int mod=1000000007;
int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();return x*f;
}
void upd(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
int Pow(int x,int y)
{if(!y)return 1;int t=Pow(x,y>>1),re=(LL)t*t%mod;if(y&1)re=(LL)re*x%mod;return re;
}
int n,k,a[Maxn],f[Maxn],ans=0,s=1;//f[x]x个ai的乘积之和
int main()
{n=read(),k=read();f[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=read();s=(LL)s*a[i]%mod;for(int j=i;j;j--)upd(f[j],(LL)a[i]*f[j-1]%mod);}for(int i=0;i<=n;i++)if((n-i)&1)f[i]=(mod-f[i])%mod;int inv=Pow(n,mod-2);for(int i=0;i<=min(n,k);i++){int t=1;for(int j=k;j>k-i;j--)t=(LL)t*j%mod;upd(ans,(LL)f[n-i]*t%mod*Pow(inv,i)%mod);}printf("%d",(s-ans+mod)%mod);
}