第二章

旋转运动的力矩与旋转角度为2重积分关系：
T e = J d θ 2 d t 2 T_e=J\frac{d\theta ^2}{dt^2} Te=Jdt2dθ2
二重积分相当于存在两个0极点；
建模分析的集中类型：
机械系统，平移，旋转运动；
牛顿第二定律：
F = m a F=ma F=ma
电路系统；
机电系统：包含电动机定律、发电机定律；

第三章：动态系统

由于引入反馈，所以存在不稳定问题，需要引入稳定性分析方法；
不同的方法都可以判定稳定性：核心在于负极点，劳斯判据、根轨迹、频率域分析法、都可以分析稳定性；
叠加原理只适用于线性系统，线性时变系统也满足；
卷积定理：
y ( t ) = ∫ 0 + ∞ u ( τ ) h ( t − τ ) d τ y\left( t \right) =\int_0^{+\infty}{u\left( \tau \right)}h\left( t-\tau \right) d\tau \\ y(t)=∫0+∞u(τ)h(t−τ)dτ
冲激函数的性质：筛选性。
因此对于任意输入信号，可将该信号分解成无穷多个不同幅值的冲击信号的叠加。只需计算系统对单位冲激信号的响应，则可以计算系统对任意输入信号的响应；
拉普拉斯变换：（对于零初始）
H ( s ) = ∫ 0 + ∞ h ( τ ) e − s τ d τ H\left( s \right) =\int_0^{+\infty}{h\left( \tau \right)}e^{-s\tau}d\tau \\ H(s)=∫0+∞h(τ)e−sτdτ
惯性系统施加正弦激励，存在指数衰减响应的原因：
在拉普拉斯反变换时，系统一阶惯性表现为指数衰减信号；
拉普拉斯变换的性质：
时延性：
F 1 ( s ) = e − s λ F ( s ) F_1\left( s \right) =e^{-s\lambda}F\left( s \right) \\ F1(s)=e−sλF(s)
微分性：（推导过程）
L { d f d t } = ∫ − 0 + ∝ d f d t e − s t d t L { d f d t } = ∫ − 0 + ∝ e − s t d f L { d f d t } = − f ( 0 ) − ∫ − 0 + ∝ f d e − s t L { d f d t } = − f ( 0 ) + 1 s ∫ − 0 + ∝ f e − s t d t L { d f d t } = − f ( 0 ) + F ( s ) s \mathcal{L} \left\{ \frac{df}{dt} \right\} =\int_{-0}^{+\propto}{\frac{df}{dt}e^{-st}dt} \\ \mathcal{L} \left\{ \frac{df}{dt} \right\} =\int_{-0}^{+\propto}{e^{-st}df} \\ \mathcal{L} \left\{ \frac{df}{dt} \right\} =-f\left( 0 \right) -\int_{-0}^{+\propto}{fde^{-st}} \\ \mathcal{L} \left\{ \frac{df}{dt} \right\} =-f\left( 0 \right) +\frac{1}{s}\int_{-0}^{+\propto}{fe^{-st}dt} \\ \mathcal{L} \left\{ \frac{df}{dt} \right\} =-f\left( 0 \right) +\frac{F\left( s \right)}{s} \\ L{dtdf}=∫−0+∝dtdfe−stdtL{dtdf}=∫−0+∝e−stdfL{dtdf}=−f(0)−∫−0+∝fde−stL{dtdf}=−f(0)+s1∫−0+∝fe−stdtL{dtdf}=−f(0)+sF(s)
积分性：乘以1/s
部分分式求逆变换：很重要。
首先因式分解。然后根据留数法计算分子系数；（消去法）
终值定理：注意上面计算拉普阿斯变换时，阶跃信号的拉普拉斯变换为c/s.因此该项代表拉普拉斯变换后存在直流分量；拉普拉斯变换的分项式描述了时域响应的特征；应用条件：稳定系统
系统通常时指数响应的原因时：微分方程的解是指数形式的；
系统脉冲响应是出啊你函数的原因：因为脉冲函数的拉普拉斯变换是1；
指数函数时间常数的含义：指数项的乘积为1的t值。可用来度量指数响应的衰减率。
极点离虚轴越远，表示衰减的越快，衰减的速度可以用时间常数衡量，0点出的极点表示输出存在直流分量；
零点决定不同模态的分量，零点和极点分离越远，该分离越大，离的越近该分离越小，理论依据：部分分式展开、消去法。
无阻尼自然震荡角频率，表示当阻尼为0时，最大指数衰减速度。表示衰减的极限速度。
存在阻尼时，衰减变慢，存在超调，为震荡衰减特性。重点：实部、虚部、夹角的物理意义。
注意阻尼是特征根的1次项系数。而能影响1次项系数的参数都可以影响阻尼。
若要求时域指标，可根据时域响应的对应关系得到对应的控制参数值。若要求频率域指标，可根据频率域直接设计。
零极点对消准不准输出响应的模态会有区别。若对消不准确则响应时间和理论时间不同。
零点的影响，提高了系统超调，另外RHP，右半平面零点，会导致系统先减小再恢复。在P88页。零极点对消使系统降解。RHP导致响应速度较慢。
双极点系统响应可能是震荡响应，要注意。
7月25日接续复习：
利用劳斯阵列可以确定稳定性边界；
采用实验法估计惯性系统参数的方法：
y ( t ) = y ( ∝ ) + A e − α t y ( t ) − y ( ∝ ) = A e − α t ln ⁡ [ y ( t ) − y ( ∝ ) ] = ln ⁡ A − α t y\left( t \right) =y\left( \propto \right) +Ae^{-\alpha t} \\ y\left( t \right) -y\left( \propto \right) =Ae^{-\alpha t} \\ \ln \left[ y\left( t \right) -y\left( \propto \right) \right] =\ln A-\alpha t \\ y(t)=y(∝)+Ae−αty(t)−y(∝)=Ae−αtln[y(t)−y(∝)]=lnA−αt
闭环系统关注：
a ( s ) d ( s ) + b ( s ) c ( s ) = 0 a\left( s \right) d\left( s \right) +b\left( s \right) c\left( s \right) =0 a(s)d(s)+b(s)c(s)=0
只要该方程确定的根位于左半平面，系统即可稳定，即使原始系统存在RHP的情况。
对于传感器的干扰，可以将传感器误差近似为扰动分析。
灵敏度的定义：
系统传递函数增益的变化率与被控对象增益变化率的比值。（y的相对变化与x的相对变化之比）
灵敏度可以描述控制器闭环特性如相频特性和幅频特性对受控对象、控制器参数变化的影响。
由灵敏度推出了结论：对于反馈通道的扰动，系统没有抑制能力。

闭环传递函数：

对控制器参数变化的灵敏度：

对反馈通道的灵敏度：
复习除法求导：
系统型别-理论背景：消去法求解拉普拉斯部分分式展开、稳态误差的计算、不同参考输入的拉普拉斯变换；
注意：系统型别中，为何原点处的极点可以实现阶跃响应无静差的原因：** s会出现在分子，当s趋于0是，误差传递函数为0；误差传递函数可以有效的描述误差响应。**
推导过程：
lim ⁡ t → ∞ e ( t ) = lim ⁡ s → 0 s T ( s ) R ( s ) lim ⁡ t → ∞ e ( t ) = lim ⁡ s → 0 s 1 1 + K s n R ( s ) lim ⁡ t → ∞ e ( t ) = lim ⁡ s → 0 s 1 1 + K s n 1 s k + 1 lim ⁡ t → ∞ e ( t ) = lim ⁡ s → 0 s n s n + k 1 s k \underset{t\rightarrow \infty}{\lim}e\left( t \right) =\underset{s\rightarrow 0}{\lim}sT\left( s \right) R\left( s \right) \\ \underset{t\rightarrow \infty}{\lim}e\left( t \right) =\underset{s\rightarrow 0}{\lim}s\frac{1}{1+\frac{K}{s^n}}R\left( s \right) \\ \underset{t\rightarrow \infty}{\lim}e\left( t \right) =\underset{s\rightarrow 0}{\lim}s\frac{1}{1+\frac{K}{s^n}}\frac{1}{s^{k+1}} \\ \underset{t\rightarrow \infty}{\lim}e\left( t \right) =\underset{s\rightarrow 0}{\lim}\frac{s^n}{s^n+k}\frac{1}{s^k} t→∞lime(t)=s→0limsT(s)R(s)t→∞lime(t)=s→0lims1+snK1R(s)t→∞lime(t)=s→0lims1+snK1sk+11t→∞lime(t)=s→0limsn+ksnsk1
K的物理意义：开环传递函数除了原点的极点外的多项式的s=0的增益值；
灵感：对于误差传递函数，分析误差的抑制，对于阶跃误差，2型系统可以抵抗该解决误差。分析方法与系统型别的分析类似。
PID控制器：
对于比例控制，对于二阶系统采用kp控制相当于调节固有频率。无法调节系统阻尼。特征方程如下：
s 2 + a s + b + k p = 0 s^2+as+b+kp=0 s2+as+b+kp=0
PI控制就可以调节系统阻尼也可以调节固有频率。
对于二阶系统，采用 PID调节器可以任意配置系统特征根。
PID的数字控制中，对于积分项的处理：
u I ( k T s + T s ) = k i ∫ 0 k T s e ( τ ) d τ u I ( k T s + T s ) = u I ( k T s ) + k i ∫ k T s k T s + T s e ( τ ) d τ u I ( k T s + T s ) = u I ( k T s ) + k i T s 2 ( e ( k T s ) + e ( k T s + T s ) ) u_I\left( kT_s+T_s \right) =k_i\int_0^{kT_s}{e\left( \tau \right)}d\tau \\ u_I\left( kT_s+T_s \right) =u_I\left( kT_s \right) +k_i\int_{kT_s}^{kT_s+T_s}{e\left( \tau \right)}d\tau \\ u_I\left( kT_s+T_s \right) =u_I\left( kT_s \right) +k_i\frac{T_s}{2}\left( e\left( kT_s \right) +e\left( kT_s+T_s \right) \right) uI(kTs+Ts)=ki∫0kTse(τ)dτuI(kTs+Ts)=uI(kTs)+ki∫kTskTs+Tse(τ)dτuI(kTs+Ts)=uI(kTs)+ki2Ts(e(kTs)+e(kTs+Ts))

第五章：根轨迹

根轨迹是对闭环特征方程的方程通过数学变换，进而得到开环传递函数与增益k的关系。根轨迹是s平面推广。
L ( s ) = − 1 K L\left( s \right) =-\frac{1}{K} L(s)=−K1
上式即为特征方程的根轨迹形式。
根轨迹可以判断稳定范围，可以根据极点匹配方式得到K的取值范围，还能通过极点配置，实现系统矫正；
180度根轨迹，含义：指根轨迹的零点-极点角度为180度。
规则1：
根轨迹的n条分支从极点出发，其中有m条分支结束于L(s)的零点；
实轴上的根轨迹位于奇数个零极点的左侧；
剩余的n-m指向无穷远，而且渐近线夹角360/(n-m),分离点：
α = ∑ p i − ∑ z i n − m \alpha =\frac{\sum{p_i}-\sum{z_i}}{n-m} α=n−m∑pi−∑zi
可以根据根轨迹过某一点，计算参数K：
k = 1 ∣ L ( s ) ∣ = ∣ a ( s ) b ( s ) ∣ k=\frac{1}{|L\left( s \right) |}=\left| \frac{a\left( s \right)}{b\left( s \right)} \right| k=∣L(s)∣1=∣∣∣∣b(s)a(s)∣∣∣∣
最后需要检验。若不能满足要求，则需要采用其他控制方法。
在采用控制器后，应该大脑要有根轨迹的大致图像；
先尝试简单的控制器，若无法满足，则采用更复杂的控制器；
微分环节往往并不具备现实意义，会放大传感器的噪声；当极点距离闭环极点较远时，影响小；
因为一般不采用比例微分控制，而是采用超前补偿。
PI控制本质是一种滞后补偿器，增加了原点的极点，提高了系统型别；
延迟环节采用pade近似后，存在右半平面零点；
e − T d s = 1 − T d s 2 1 + T d s 2 e^{-T_ds}=\frac{1-\frac{T_ds}{2}}{1+\frac{T_ds}{2}} e−Tds=1+2Tds1−2Tds
由于根轨迹起始于极点，终值于零点，因此当存在延迟环节时，将导致根轨迹会穿过虚轴。

第六章：频率响应分析法

对于低于二阶系统的传递函数，频率响应和时域响应的指标存在明确的对应关系。主要原因时都是基于传递函数的分析方法，时域响应的超调量的表征是根的分布。而根的分布实际会影响阻尼项，在谐振峰值时，峰值与阻尼项有关。
当阻尼为0.707时，自然震荡角频率=带宽。而在时域自然震荡角频率和阻尼决定调节时间。
时域的上升时间：
t r = 1.8 ω n t_r=\frac{1.8}{\omega _n} tr=ωn1.8
频率响应的实质时一个复变函数。计算的结果是一个复数，存在幅值和相位。
采用对数计算后，可以将乘法转化为加减法。
频率响应分析法主要要分析以下几种典型系统：

比例系统及单s项

K 0 ( j w ) n log ⁡ [ K 0 ( j w ) n ] = log ⁡ K 0 + n log ⁡ w K_0\left( jw \right) ^n \\ \log \left[ K_0\left( jw \right) ^n \right] =\log K_0+n\log w K0(jw)nlog[K0(jw)n]=logK0+nlogw

特征： 斜率为n的直线，当w=1时，该直线通过logKo点。相频特性：相频为n*90度的直线。

比例微分

j ω τ + 1 j\omega \tau +1 jωτ+1

计算近似的幅频曲线：当wt>>1时，该曲线近似为单s系统，即：
log ⁡ τ + log ⁡ ∣ ω ∣ \log \tau +\log |\omega | logτ+log∣ω∣
若采用分贝表示则：
20 log ⁡ τ + 20 log ⁡ ∣ ω ∣ 20\log \tau +20\log |\omega | 20logτ+20log∣ω∣

tor =10
s=tf(‘s’);
Gs=tor*s+1;
bode(Gs)
grid on

两种解释方法：1）可以认为log(tor)+log(w),第二种将w*tor看成整体。看成整体更好理解。
当w*tor<<1时，此时log1=0，因此bode图为横轴。
对于w*tor=1时，幅值为0.707，log0.707为-3dB。此时的相位为45度（因为此时虚部实部相等。）

二阶系统的频率响应

[ ( j w / ω n ) 2 + 2 ξ ( j w / ω n ) + 1 ] ± 1 \left[ \left( jw/\omega _n \right) ^2+2\xi \left( jw/\omega _n \right) +1 \right] ^{\pm 1} [(jw/ωn)2+2ξ(jw/ωn)+1]±1

当w>>wn时，可以近似为：
[ ( j w / ω n ) ] ± 2 \left[ \left( jw/\omega _n \right) \right] ^{\pm 2} [(jw/ωn)]±2
幅值相当于：
± 2 ∗ log ⁡ ∣ j w / ω n ∣ = ± 2 ∗ log ⁡ ∣ w / ω n ∣ \pm 2*\log |jw/\omega _n|=\pm 2*\log |w/\omega _n| ±2∗log∣jw/ωn∣=±2∗log∣w/ωn∣
可以这样理解：角频率与自然频率的比值越大，幅值越大（n=+1时）；
此时的相位为：正负180度。
当w<<wn时，可以近似为：1,此时的幅值为1，相位为0；
当w=wn时，此时幅频曲线为：
± 1 log ⁡ ( 2 ξ ) ^{\pm 1}\log \left( 2\xi \right) ±1log(2ξ)

实践:

s=tf('s');
Gs=2000*(s+0.5)/(s*(s+10)*(s+50));
bode(Gs)
grid on

s=tf('s');
Gs=0.01*(s^2+0.01*s+1)/(s^2*((s^2/4)+0.01*s+1))
bode(Gs)
grid on

非最小相位系统：

幅频关系相同，相频不同，右半平面零点贡献更多的相位滞后，导致相位裕度减小。超调增大，甚至不稳定。

稳态误差

分析方法，在计算稳态误差时，考虑s趋近于零，系统开环传递函数为：
K 0 ( j ω ) n K_0\left( j\omega \right) ^n K0(jω)n
当n=0时，低频段的渐近线为一个常数。对于单位负反馈的稳态误差为：
e s s = 1 1 + k p e_{ss}=\frac{1}{1+k_p} ess=1+kp1
当n=-1时，低频渐近线为-1，低频的增益为：
e s s = k p ω e_{ss}=\frac{k_p}{\omega} ess=ωkp
频率相应的临界稳定的来历：
根轨迹根据开环传递函数表示闭环特征根的根分布。根轨迹上的点都满足辐角条件。在临界稳定是，根位于虚轴，此时s=jw,而且：
k 0 G ( j w ) = − 1 k_0G\left( jw \right) =-1 k0G(jw)=−1
因此对于同样系统的频率响应，在临界稳定时，相角等于180度，幅值等于1；在幅值等于1时，取分贝后为0；
奈奎斯特稳定性判据：
根据开环传递函数研究闭环传递函数的稳定性。对于单位反馈系统有以下传递函数：
G c ( s ) = K G ( s ) 1 + K G ( s ) G_c\left( s \right) =\frac{KG\left( s \right)}{1+KG\left( s \right)} Gc(s)=1+KG(s)KG(s)
闭环特征根：
1 + K G ( s ) = 1 + k b ( s ) a ( s ) = a ( s ) + k b ( s ) a ( s ) 1+KG\left( s \right) =1+k\frac{b\left( s \right)}{a\left( s \right)}=\frac{a\left( s \right) +kb\left( s \right)}{a\left( s \right)} 1+KG(s)=1+ka(s)b(s)=a(s)a(s)+kb(s)
有上式可知：
闭环系统特征根的极点是上式的零点。当开环传递函数已知存在右半平面的极点数时，可根据 K G ( s ) KG\left( s \right) KG(s)确定闭环特征根的极点数。
方法有点绕： 闭环特征根的极点可以由开环传递函数表征。表征条件：围绕-1的圈数、以及零极点的对应关系。
顺时针包围和逆时针包围问题：
等值线计算，当s按照闭合轨迹运行时，当确定了零极点后，计算等值线。若s闭合曲线未包围零极点，则等值线计算公式（复数幅值和相位和）将不会包围原点。因为包围原点意味着辅角变化360度，而变化360度又意味着s闭合曲线包围了零极点。因此可以用等值线是否包围原点表征零极点的大致分布。若 K G ( s ) KG\left( s \right) KG(s)
随着s变化（s顺时针包围右半平面），s-z(开环传递函数零点)减小。则奈奎斯特曲线顺时针包围-1点；
随着s变化（s顺时针包围右半平面），1/(s-p)(开环传递函数极点)增大。则奈奎斯特曲线逆时针包围-1点；
而闭环传递函数的极点与
1 + K G ( s ) = 1 + k b ( s ) a ( s ) = a ( s ) + k b ( s ) a ( s ) 1+KG\left( s \right) =1+k\frac{b\left( s \right)}{a\left( s \right)}=\frac{a\left( s \right) +kb\left( s \right)}{a\left( s \right)} 1+KG(s)=1+ka(s)b(s)=a(s)a(s)+kb(s)
的零点相同。因此顺时针包围-1意味着闭环传递函数存在右半平面的极点。

频域的稳定裕度：

增益裕度的定义(Gain margin）： 增益在稳定系统达到临界稳定时，增益所能放大的倍数。
相位裕度的定义(Phase margin)： 当开环传递函数穿越零分贝时，相角距离180度临界温度的角度差；刻画系统滞后的稳定范围。
二阶系统的相位裕度：
P M = a r c tan ⁡ ( 2 ξ 1 + 4 ξ 2 − 2 ξ 2 ) ξ = P M 100 低于 70 度的相位裕度近似为上述公式 PM=\mathrm{arc}\tan \left( \frac{2\xi}{\sqrt{\sqrt{1+4\xi ^2}-2\xi ^2}} \right) \\ \xi =\frac{PM}{100} \\ \text{低于}70\text{度的相位裕度近似为上述公式} \\ PM=arctan⎝⎛1+4ξ2 −2ξ2 2ξ⎠⎞ξ=100PM低于70度的相位裕度近似为上述公式
伯德增益-相位曲线：
-20dec/10倍穿越0分贝线的原因：-1斜率的bode相频最多滞后90度。考虑到相频特性的近似特征。（wc的一个10倍频程内穿越-1）可有效保证相位裕度。

闭环频率响应：

考虑一个系统：
∣ k G ( j w ) ∣ > > 1 , w < < ω c ∣ k G ( j w ) ∣ < < 1 , w > > ω c w c 为穿越频率。则闭环频率响应的幅值近似为： ∣ T ( j w ) ∣ = ∣ k G ( j w ) 1 + k G ( j w ) ∣ = { 1 , w < < w c ∣ k G ∣ , w > > w c |kG\left( jw \right) |>>1 ,w<<\omega _c \\ |kG\left( jw \right) |<<1 ,w>>\omega _c \\ w_c\text{为穿越频率。则闭环频率响应的幅值近似为：} \\ |T\left( jw \right) |=\left| \frac{kG\left( jw \right)}{1+kG\left( jw \right)} \right|=\left\{ \begin{array}{c} 1, w<<w_c\\ |kG|, w>>w_c\\ \end{array} \right. ∣kG(jw)∣>>1,w<<ωc∣kG(jw)∣<<1,w>>ωcwc为穿越频率。则闭环频率响应的幅值近似为：∣T(jw)∣=∣∣∣∣1+kG(jw)kG(jw)∣∣∣∣={1,w<<wc∣kG∣,w>>wc
当阻尼为0.707时，闭环带宽与穿越频率相等，当阻尼为其他值时，闭环带宽在穿越频率的2倍之内。
PD补偿可以提高系统的相位裕度，但是由于PD补偿在高频的增益提高，导致对高频噪声有放大作用，因此PD控制不单独使用，而是配合极点使用。及超前补偿。
超前补偿环节最大相位补偿量的计算推导：
结论：
w max ⁡ = ∣ z ∣ ∣ p ∣ lg ⁡ ( w max ⁡ ) = 1 2 ( lg ⁡ ∣ z ∣ + lg ⁡ ∣ p ∣ ) w_{\max}=\sqrt{\left| z \right|\left| p \right|} \\ \lg \left( w_{\max} \right) =\frac{1}{2}\left( \lg \left| z \right|+\lg \left| p \right| \right) wmax=∣z∣∣p∣ lg(wmax)=21(lg∣z∣+lg∣p∣)
设计超前补偿器：穿越频率（决定带宽、上升时间、调节时间）；相位裕度（决定阻尼系数和超调）；低频增益（决定系统稳态误差特性）。

第七章：状态空间分析法

基本概念：采用一组一阶微分方程描述的动态系统。该微分方程的解可以描述该动态系统在给定输入下的状态变化轨迹。该变化轨迹也称相平面。因此状态空间分析法实质是采用微分方程组直接描述系统状态，通过矩阵分析工具对状态方程进行分析。获得系统的相关特征和性质。
状态方程可表示如下：
x ⋅ = F x + G u y = H x + J u \overset{\cdot}{x}=Fx+Gu \\ y=Hx+Ju x⋅=Fx+Guy=Hx+Ju
状态方程的不同形式具有不同的特征：如控制标准型、模态标准型。
能控性：controllable 系统状态能否通过输入控制；输入能否影响状态；

能观性：observable 无法通过输出反映系统的关键状态；无需测量所有状态，通过已知信息观测状态，系统也是能观的。

能控性和能观性的条件：
能控性和能观性的形象展示：

能控性和能观性反映了系统控制机构和检测机构的有效性与控制器无关。

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