树上倍增求LCA及例题

先瞎扯几句

树上倍增的经典应用是求两个节点的LCA

当然它的作用不仅限于求LCA，还可以维护节点的很多信息

求LCA的方法除了倍增之外，还有树链剖分、离线tarjan ，这两种日后再讲（众人：其实是你不会吧:unamused:。。。）

思想

树上倍增嘛，顾名思义就是倍增

相信倍增大家都不默认，著名的rmq问题的$O(n*logn)$的解法就是利用倍增实现的

在树上倍增中，我们用

$f[j][i]$表示第$j$号节点，跳了$2^j$步所能到达的节点

$deep[i]$表示$i$号节点的深度

然后用这两个数组瞎搞搞就能整出LCA来啦

众人：:wrench: :hammer: :hocho:

实现

deep&&f[i][0]

首先，$f[i][0]$(也就是一个节点的上面的节点)容易求得，只要对整棵树进行一边dfs就好，在dfs的时候我们顺便可以求出$deep$数组

for(int i=head[now];i!=-1;i=edge[i].nxt)if(!deep[edge[i].v])deep[edge[i].v]=deep[now]+1,f[edge[i].v][0]=now,dfs(edge[i].v);

这段代码应该不难理解

f[j][i]

那么我们怎么维护$f$数组呢？

不难得到$f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1]$ 众人：难！

其实真的不难，一张图就可以解释明白啦

这句话的意思其实是说，一个节点跳$2^j$所能到达的节点实际上是跳$2^{i-1}$所能到达的节点再往上跳$2^{j-1}$步

注意$2^i=2^{i-1}+2^{i-1}$

代码：

for(int i=1;i<=19;i++)    for(int j=1;j<=n;j++)f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];

LCA

接下来要进入最核心的部分啦，

我们如何用$deep$和$f$乱搞搞出$x$和$y$的LCA呢？

按照书上倍增算法的介绍

我们求LCA需要分为两步

设$deep[x]>deep[y]$

让$x$向上跳，跳到与$y$深度相同位置
让$x$和$y$同时向上跳，跳到祖先相同位置

根据二进制分解什么乱七八糟的，这么做一定是对的，其实这个挺显然的，yy一下就好了吧。。。

第一步

if(deep[x]<deep[y])    swap(x,y);for(int i=19;i>=0;i--)if(deep[f[x][i]]>=deep[y])x=f[x][i];

首先处理一下$x$和$y$的深度，保证$deep[x]>deep[y]$

然后尽量让$x$向上跳就好啦，注意这里是可以取到等号的

注意这里可能会出现一种特殊情况

这个时候他们的最近公共祖先就是$y$

if(x==y)    return x;

第二步

同时向上跳，直到祖先相同为止

那么此时他们再向上跳一步所能到达的节点就是LCA啦

for(int i=19;i>=0;i--)if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i];
return    f[x][0];

怎么样？

是不是很简单？

完整代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1000010;
inline void read(int &n) {char c = getchar(); bool flag = 0; n = 0;while (c < '0' || c > '9')    c == '-' ? flag = 1, c = getchar() : c = getchar();while (c >= '0' && c <= '9')    n = n * 10 + c - 48, c = getchar(); flag == 1 ? n = -n : n = n;
}
struct node {int v, nxt;
} edge[MAXN];
int head[MAXN];
int num = 1;
inline void add_edge(int x, int y) {edge[num].v = y;edge[num].nxt = head[x];head[x] = num++;
}
int f[MAXN][21];
int deep[MAXN];
int n, m, root;
void dfs(int now) {for (int i = head[now]; i != -1; i = edge[i].nxt)if (!deep[edge[i].v])deep[edge[i].v] = deep[now] + 1, f[edge[i].v][0] = now, dfs(edge[i].v);
}
void PRE() {for (int i = 1; i <= 19; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)f[j][i] = f[f[j][i - 1]][i - 1];
}
int LCA(int x, int y) {if (deep[x] < deep[y])    swap(x, y);for (int i = 19; i >= 0; i--)if (deep[f[x][i]] >= deep[y])x = f[x][i];if (x == y)    return x;for (int i = 19; i >= 0; i--)if (f[x][i] != f[y][i])x = f[x][i], y = f[y][i];return    f[x][0];
}
int main() {memset(head, -1, sizeof(head));read(n); read(m); read(root);for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {int x, y; read(x); read(y);add_edge(x, y);add_edge(y, x);}deep[root] = 1;dfs(root);PRE();for (int i = 1; i <= m; i++) {int x, y;read(x); read(y);printf("%d\n", LCA(x, y));}return 0;
}

例题

都是些入门难度的题目

洛谷P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/6832524.html

POJ 1986 Distance Queries

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7791527.html

HDU 3078 Network

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7791617.html

HDU 2586 How far away ？

http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7791517.html