晶振是雷达和通信系统的核心，其相位噪声重要性在此不赘述。根据其原理，可将晶振大致分为两种类型，共振型振荡器和时间-波形型振荡器[1]。共振型是指类似于电容-电感互相交换能量的类型，比如石英振荡器、SAW、DRO、printed transmission line、集成电容-电感共振器。时间-波形类振荡器是利用信号在传输过程中的延时，组成环形触发的周期信号发生器。这里仅考虑共振型振荡器的相位噪声模型。

图 1 共振型振荡器原理图

图 2 环形振荡器原理图

相位噪声是评估振荡器优劣的一个主要指标，不赘述。研究其模型可以为实现相位噪声更低的振荡器提供有力的指导。根据研究层次的不同，可以将噪声模型分为三种：线性时不变模型、线性时变模型和非线性时变模型。

对于这三种模型，其基本构成是一样的，一个振荡器由两部分组成：带通滤波器和放大器，如下图所示。这种模型认为，振荡器的噪声来源于放大器，所不同的是，放大器的噪声对于该系统的作用形式不一样。下面首先介绍放大器的噪声模型，然后再依次介绍这三种相位噪声模型。

图 3 振荡器模型

一、放大器的噪声

放大器的噪声是振荡器的相位噪声根本来源。其噪声基本可以建模为白噪声和闪烁噪声的叠加。其中白噪声来自电子的热运动等。

下面是一个放大器的噪声测试结果：

图 4 放大器的噪声

二、线性时不变模型

线性时不变模型由Leeson在1966年提出[2]。该过程认为放大器中的噪声在任意时刻对系统的影响是一样的，即时不变特性。而且放大器中的噪声对最终的相位噪声影响是线性的，即线性性。

在图3中，放大器输入的信号为

，经过放大器后，其相位变为

，其中是

放大器的相位噪声。因此放大器输出的信号为

。该信号输出通过带通滤波器后，输出到放大器输入端。

应该认识到，一个系统是否是线性和我们对物理量的选取直接相关。如果我们选择变量为环路中的电压，那么显然带通滤波器就不是线性系统。这里我们选择环路中的相位为观察的物理量。那么这个带通滤波器就可以建模为一个线性系统，设其脉冲响应为

，则

的关系为：

其中*为卷积运算。

取对上述公式计算其功率谱密度，可得：

又

,可得：

对于一个RLC组成的带通滤波器，

其中

，为带通滤波器的中心，Q为带负载的品质因数。可得：

因此，在晶振的相位噪声中，可以观察到

,和

三种颜色的噪声。

Leeson模型非常简单，和实验结果也很吻合，但是对实现低相噪的晶振的指导意义却不大，这是因为公式中的几个参数并不是可控的，例如F,

和Po。这几个参数通常在晶振实现后，对实验的数据进行拟合得到的。

其次，Leeson模型也有其数学上的固有缺陷，如果在非常靠近0频率处，相位噪声以

增长，那么其在DC处将无穷大，积分不收敛，这和实验中观察到的洛伦兹线性并不吻合。

振荡器和激光器非常类似，甚至可以认为其本质上是一致的，那么Leeson噪声就是激光器中的肖洛-汤斯极限。在Q值这一点上，也是非常类似的，当

很大时，反射镜的反射率更高，激光器（振荡器）的线宽更窄，但是其输出也更小了。

三、线性时变模型

Leeson模型无法进行准确预测的根本原因在于晶振的整个系统并不是时不变的。如下图所示，假设系统处于完美的正弦变化，当放大器中出现一个脉冲噪声，系统的状态将受到影响，如果这个脉冲处于正弦的最大值（或最小值）时出现，那么该噪声将不影响振荡器的过零点，即相位噪声的影响最小。当脉冲处于正弦的过零点时，将对相位噪声产生最大的影响。这就说明放大器噪声对振荡器的影响并不是时不变的，需要使用时变的模型来处理。

图 5 振荡器的时变特性原理图

事实上，对于这种时变模型，可以采用敏感度函数的方法进行处理。这种处理方法非常类似于原子干涉仪和原子喷泉钟里的处理方法，振动、拉曼光的相位噪声对于最终信号的影响并不是线性的，当振动、相位噪声发生在非拉曼作用时间内，将不影响最终的信号。拉曼光的相位噪声的这种影响成为Dick效应。

如果振荡器输出是正弦信号，那么其敏感度函数为余弦函数，如果振荡器输出为非正弦周期信号，那么其敏感度函数可以认为是其输出的微分，如下图所示。

图 6 振荡器输出与其敏感度函数

事实上，这一点在振荡器设计的时候有很重要的意义。振荡器的噪声源为放大器，虽然我们可以挑选噪声很小的放大器，甚至将放大器防在液氮、液氦等系统中以减小其热噪声，但是，其较大的敏感度函数仍然会限制其最终的相位噪声。基于敏感度函数的方法，我们可以对振荡器中的带通滤波器和放大电路进行优化设计，减小其敏感度函数，从而减小放大器中的噪声对振荡器相位噪声的影响。如图6中最下方的图所示。虽然其输出不是标准的正弦信号，但是这个可以通过在输出端加带通滤波器滤除其高阶项，从而得到相位噪声极低的正弦信号。

下面简单介绍敏感度函数对最终相位噪声的影响。由于系统输出一定是周期的信号，因此其敏感度函数也一定是周期信号，因此对其进行傅里叶展开：

其中是

振荡器的主频率。每一项对最终的相位噪声的影响为：

其中Δω是圆傅里叶频率，综合所有的影响，可得：

如果可以通过设计减小，就可以减小振荡器的相位噪声。在这方面已经有一些研究了，下图就是几种微带滤波器的设计[3]：

图 7 微带滤波器设计

由于这种系统的非线性，其输出不是正弦的，基本无法得到其输出波形的解析解，因此需要采用数值的方法计算每一种设计的输出波形，从而得到各项系数

。

四、非线性时不变模型

虽然线性时变模型已经能很好地对设计更低相位噪声的振荡器进行指导了，但是实验发现，其理论预测结果和实验结果仍有一定的差距，这就需要使用进一步考虑系统的非线性了。这种模型的理论非常复杂，首先利用仿真软件计算出无噪声条件下系统的输出波形，然后利用非线性和自相关函数来分析放大器的噪声对相位噪声的影响，这一点非常类似于随机过程方程，虽然无法得到其解析解，但是可以得到在随机过程的干扰下随机变量的统计值。需要说明的是这种方法的预测结果和实验吻合的非常好。下表就是关于理论预测和实验的结果比较。需要注意的是，有的实验结果被实验仪器的测试本底限制，不能反映真实的相位噪声。不过从众多主流测试仪器的结果看，Holzworth的测量结果和理论预测吻合得还是很好的。

关于这三种噪声模型的比较如下表所示。

展望

非线性时变模型已经可以很好的预测相位噪声了，实验中可以利用这种方法得到相位噪声极低的晶振，仿佛剩下的事就是通过设计振荡器的拓扑结构而已。

我觉得，晶振的发展可以参考低温蓝宝石振荡器的优化方法。低温蓝宝石的稳定度最低可达3，除了因为低温蓝宝石超高的Q值（

）以外，另外一个原因就是因为其采用了PDH(Pound-Drever-Hall)方法，在这种方法里，蓝宝石除了作为带通滤波器外，还可以作为鉴相器，对振荡器产生的微波信号进行鉴相产生误差信号，利用这个误差信号可以反馈到振荡回路中，优化振荡器的近DC处的相位噪声。

[1] A. Abidi. (1997, Nov.). How phase noise appears in oscillators. [Online]. Available: http://www.rfdh.com/ez/system/db/pds_tn/ upload/271/phase_noise.pdf

[2] D. B. Leeson, “A simple model of feedback oscillator noise spec- trum,” Proc. IEEE, vol. 54, no. 2, pp. 329–332, 1966.

[3] M. Nick, “New Q-enhanced planar resonators for low phase- noise radio frequency oscillators,” Ph.D. dissertation, Dept. Elec- trical Eng., Michigan Univ., Ann Arbor, MI, 2011