动态规划（五）—

0/1背包

一、0/1背包问题
- 1.实例讲解
- 2.DP求解0/1背包
- 3.输出0/1背包方案
二、0/1背包题目代码（持续更新）

一、0/1背包问题

给定n种物品和一个背包，物品i的重量为wi，价值为vi，背包的总容量为C。
在入背包的物品时对每种物品i只有两种选择，即装入背包和不装入背包（称为0/1背包），如何选择装入背包的物品使得背包中物品总价值最大？

xi = 0时不装入背包，xi = 1时装入背包：

约束条件：装入背包的物品重量之和不超过背包总容量

目标函数：装入背包的物品价值之和最大

1.实例讲解

有四个物品，重量分别为2，3，6，5，价值分别为6，3，5，4，背包的容量为9。

B（k，c），k代表前k个物品，c代表背包剩下的容量
例如B（2，9）：背包剩下的容量是9时还有2个物品

公式推导：
假设现在背包里已经有前两个物品，背包容量为0，这时想放第三个物品，发现重量w3太重大于背包容量c，已经放不下，则B（k-1，c）。

那么现在假设背包容量足够大，可以放下第j个物品，我们可以有两个选择，放/不放。
放进去：B（k-1，c-cj）+vj（c-cj：背包剩余容量再减去物品重量，vj是物品价值）
不放进去：B（k-1，c）

故公式：

2.DP求解0/1背包

建立一个二维表dp[][]，行数为n+1，列数为C+1。
行数和列数都要加1是因为有一行和一列比较特殊，即背包容量为0和不装物品的情况。
所以一般从dp[1][1]开始填入数据

步骤一：只装第1个物品
由于物品1的重量是2，所以背包容量c小于2的都放不进去，dp[1][1]=0；
从dp[1][2] 开始填入第一个物品的价值v1=6

此时dp[1][2]的结果是可由公式计算出来的，B（0，0）和B（0，2）查表可知都是0，因为选择的结果最大所以填入6。

2. 第二步：装其他物品
这个时候直接用公式同上代入数据即可，最后的答案是dp[4][9]，即把4个物品装到容量为9的背包，最大价值11.

3.输出0/1背包方案

具体看装了哪些物品，需要倒过来观察。
dp[4][9] = max{dp[3,4]+4（选了物品4的情况），dp[3][9]（不选物品4的情况）} = dp[3][9]，最大的为不选物品4的情况，说明没有选物品4。
dp[3][9] = max{dp[2,3]+5,dp[2][9]}=dp[2][3]+5=11，说明选了物品3,。
dp[2][3] = max{dp[1,0]+3,dp[1][3]}=dp[1][3]，说明没选物品2,。
dp[1][3] = max{dp[0,1]+6,dp[0][3]}=dp[0][1]+6=6，说明选了物品1。

也就是说只要判断所填的值dp[i][j]是等于dp[i-1][j-n_i]+v_i还是dp[i-1][j]，就知道有没有选择第i个物品了。

二、0/1背包题目代码（持续更新）

HDOJ 2602-Bone Collector.：0/1背包模板代码（含输出模板以及滚动数组）