一、Bone Collector

Problem Description
许多年前，在泰迪的家乡，有一个人被称为“骨收集者”。骨头收集者有一个大袋子，里面装满了V，在收集骨头的过程中，不同的骨骼具有不同的值和不同的体积，现在给定每个骨骼的值，您能否计算出骨骼收集器可获得的总值的最大值？

Input
第一行包含整数T，即案例数。
紧随其后的是T个案例，每个案例三行，第一行包含两个整数N，C（N <= 1000，C <= 1000），
表示骨头的数量和包的体积。第二行包含代表每个骨骼值的N个整数。第三行包含N个整数，代表每个骨骼的体积。

Output
每行一个整数，代表总和的最大值（该数字将小于2³¹）。

Sample Input

Sample Output

解法一：二维数组解法（0/1背包模板代码）

tip：注意多组数据要清dp数组为零，忘记了所以wa了一次。

一道模板题~根据上次讲解的0/1背包推导公式（0/1背包讲解戳这里~.），并用条件语句实现公式即可。
二维表是N+1行（第0行是前0个物品的情况，也就是没有东西可以装），
C+1（第0列是背包0容量的情况）。
第0行和第0列的dp数组值都是0，其他根据公式填入，最大（最优）的情况就是二维数组的最右下角那个格子的值即dp[N][C]。

#include<bits/stdc++.h>
#define fio ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;const int maxn = 1e3+1;
int N, C;
int dp[maxn][maxn];
struct {int v;int n;
}node[maxn];
void back() {for (int i = 0; i <= N; i++) dp[i][0] = 0;  for (int i = 1; i <= N; i++) {for (int j = 0; j <= C; j++) {if (node[i].n > j) { //第i个物品太大装不下dp[i][j] = dp[i-1][j];} else {//第i个物品可以装，选择装或不装，选择两种情况结果最大的。dp[i][j] = max(dp[i-1][j-node[i].n]+node[i].v, dp[i-1][j]);}}}
}
int main() {fioint T;cin >> T;while (T--) {cin >> N >> C;memset(dp, 0, sizeof(dp));for (int i = 1; i <= N; i++) cin >> node[i].v;for (int i = 1; i <= N; i++) cin >> node[i].n;back();cout << dp[N][C] << endl;}
}

1.1 0/1背包打印方案代码

判断所填的值dp[i][j]是等于dp[i-1][j-n_i]+v_i还是dp[i-1][j]
用条件语句直接判别两种情况：

若等于dp[i-1][j-n_i]+v_i，则a[i]=1，表明选了第i个物品，j更新为j-n_i。
若等于dp[i-1][j]，a[i]=0（不用赋值，已初始化），表明没选第i个物品，j不更新。

两种情况 i 都要减1。

int a[maxn];//记录解的数组void output() {int i = N, j = C;int r = N;while (r--) {if (dp[i][j] == (dp[i-1][j-node[i].n]+node[i].v)) {j = j-node[i].n;a[i] = 1;}i -= 1;}for (int i = 1; i <= N; i++)if (a[i])cout << i << " ";
}

解法二：滚动数组（一维）解法

适合：N、C非常大的情况
不适合：需要打印具体方案

把二维dp[][]变成一维的dp[]，这个解放可以节省更多的空间。二维dp[][]中每一行是由上一行计算出来的，所以只跟上一行有关。
故我们可以直接用新的一行覆盖原来一行。

int dp[1001];void back() {memset(dp, 0, sizeof(dp));for (int i = 1; i <= N; i++) for (int j = C; j >= node[i].n; j--) dp[j] = max(dp[j], dp[j-node[i].n]+node[i].v);cout << dp[C] << endl;
}

初始化为0，第一次dp是从物品1开始，倒着从最大容量往物品的重量的方向依次填入值（也就是图中以5为分界，5前面的位置填原来的值，不更新；5后面的值计算填入），倒着计算可以省掉前面几个不必计算的空格，减少计算量。

重复上述覆盖操作，即可得到第五次dp的结果，取dp[N]即是最优解。

2.1 一维滚动数组例题

E-爱玩游戏的Tom

题目链接

题目描述
Tom很喜欢玩游戏，他在电脑上下了《GTA5》和《微软飞行模拟》，对于后者他还丧心病狂的下载了所有地图包，导致他可用空间只有mGM，但他还有几个学校要求安装的软件没有下载，他不能全部放下去，因此只能选择性的安装一部分。现在，我们知道每个学习软件的大小以及该学习软件的重要程度，现在Tom找到你，应该安装哪一些软件，使得这些软件的重要程度之和最大。
对于输入第一行有n（0 < n < 100）和m(0 < m < 10000)两个整数组成，n代表接下来的输入行数，m代表可用空间还剩mGB。
接下来的n行，每行两个整数，前一个整数为每个学习软件的大小（GB），后一个整数代表重要程度。
对于输出，只有一行，即为最大重要程度之和。

输入描述:
第一行输入n和m，n代表接下来的行数，m代表可用空间剩余内存，整数之间空格隔开
接下来的n行，由两个整数组成，前一个为每个软件大小，后一个整数代表重要程度，整数之间空格隔开

输出描述:
输出只有一行且只有一个整数，即为最大重要程度之和

示例1
输入

输出

说明
1、输入：
第一行3表示接下来有3行，23表示还剩23GB
第一行后的三行前一个整数表示学习软件大小（GB），后一个整数表示重要程度
2、输出：
16，表示最大重要程度之和，安装的软件为15GB的和7GB的

AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 10;
ll dp[maxn];
ll t, n, v;
struct node {int vi, wi;
} w[maxn];ll ans() {memset(dp, 0, sizeof(dp));for (int i = 1; i <= n; ++i)for (int j = v; j >= w[i].wi; --j)dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i].wi] + w[i].vi);return dp[v];
}
int main() {scanf("%lld%lld", &n, &v);for (int i = 1; i <= n; ++i)scanf("%d%d", &w[i].wi, &w[i].vi);printf("%lld\n", ans());
}

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