http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3007

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http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3932

http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=450

Buried memory

方法一：随机增量法：

分析：用最小的圆覆盖住所有的点：随机增量法复杂度是O(n)；

2、算法及原理算法介绍：我们本次算法的设计是基于这样一个简单直观的性质：

在既定的给定点条件下，如果引入一张新的半平面，只要此前的最优解顶点（即唯一确定最小包围圆的几个关键顶点）能够包含于其中，则不必对此最优解进行修改，亦即此亦为新点集的最优解；否则，新的最优解顶点必然位于这个新的半空间的边界上。定理可以通过反证法证明。于是，基于此性质，我们便可得到一个类似于线性规划算法的随机增量式算法。定义Di为相对于pi的最小包围圆。此算法实现的关键在于对于pi∉Di-1时的处理。显然，如果pi∈Di-1，则Di= Di-1；否则，需要对Di另外更新。而且，Di的组成必然包含了pi；因此，此种情况下的最小包围圆是过pi点且覆盖点集{ p1 ，p2 ，p3 ……pi-1}的最小包围圆。则仿照上述处理的思路，Di={ p1 ，pi }，逐个判断点集{ p2 ，p3 ……pi-1 }，如果存在pj∉ Di，则Di={pj，pi }。同时，再依次对点集{ p1 ，p2 ，p3 ……pj-1 }判断是否满足pk∈Di，若有不满足，则Di={pk ，pj，pi }。由于，三点唯一地确定一个圆，故而，只需在此基础上判断其他的点是否位于此包围圆内，不停地更新pk。当最内层循环完成时，退出循环，转而更新pj；当次内层循环结束时，退出循环，更新pi。当i=n时，表明对所有的顶点均已处理过 ，此时的Dn即表示覆盖了给定n个点的最小包围圆。

总结：

假设圆O是前i-1个点得最小覆盖圆，加入第i个点，如果在圆内或边上则什么也不做。否,新得到的最小覆盖圆肯定经过第i个点。然后以第i个点为基础（半径为0），重复以上过程依次加入第j个点，若第j个点在圆外，则最小覆盖圆必经过第j个点。重复以上步骤（因为最多需要三个点来确定这个最小覆盖圆，所以重复三次）。遍历完所有点之后，所得到的圆就是覆盖所有点得最小圆。证明可以考虑这么做：最小圆必定是可以通过不断放大半径，直到所有以任意点为圆心，半径为半径的圆存在交点，此时的半径就是最小圆。所以上述定理可以通过这个思想得到。这个做法复杂度是O(n)的，当加入圆的顺序随机时，因为三点定一圆，所以不在圆内概率是3/i,求出期望可得是O(n)。

方法二：模拟退火法：对于每个枚举的点找到改点到所给点的最远点的距离，然后保证这个距离最小，即为所求圆的半径；

程序：

方法一：随机增量法：

#include"string.h"
#include"stdio.h"
#include"queue"
#include"stack"
#include"vector"
#include"algorithm"
#include"iostream"
#include"math.h"
#include"stdlib.h"
#define M 522
#define inf 100000000
#define eps 1e-8
#define PI acos(-1.0)
using namespace std;
double X,Y;
struct Point
{double x,y;
}p[M];
struct Triangle
{Point v[3];
};
struct Circle
{Point center;double r;
};
double pow(double x)
{return x*x;
}
double Len(Point a,Point b)
{return sqrt(pow(a.x-b.x)+pow(a.y-b.y));
}
double TriangleArea(Triangle a)//求三角形的面积
{double px1=a.v[1].x-a.v[0].x;double py1=a.v[1].y-a.v[0].y;double px2=a.v[2].x-a.v[0].x;double py2=a.v[2].y-a.v[0].y;return fabs(px1*py2-px2*py1)/2;
}
Circle CircleOfTriangle(Triangle t)//就三角形外接圆
{Circle tmp;double a=Len(t.v[0],t.v[1]);double b=Len(t.v[0],t.v[2]);double c=Len(t.v[1],t.v[2]);tmp.r=a*b*c/4/TriangleArea(t);double a1=t.v[1].x-t.v[0].x;double b1=t.v[1].y-t.v[0].y;double c1=(a1*a1+b1*b1)/2;double a2=t.v[2].x-t.v[0].x;double b2=t.v[2].y-t.v[0].y;double c2=(a2*a2+b2*b2)/2;double d=a1*b2-a2*b1;tmp.center.x=t.v[0].x+(c1*b2-c2*b1)/d;tmp.center.y=t.v[0].y+(a1*c2-a2*c1)/d;return tmp;
}
void Run(int n)
{random_shuffle(p+1,p+n+1);//随机排序取点int i,j,k;Circle tep;tep.center=p[1];tep.r=0;for(i=2;i<=n;i++){if(Len(p[i],tep.center)>tep.r+eps){tep.center=p[i];tep.r=0;for(j=1;j<i;j++){if(Len(p[j],tep.center)>tep.r+eps){tep.center.x=(p[i].x+p[j].x)/2;tep.center.y=(p[i].y+p[j].y)/2;tep.r=Len(p[i],p[j])/2;for(k=1;k<j;k++){if(Len(p[k],tep.center)>tep.r+eps){Triangle t;t.v[0]=p[i];t.v[1]=p[j];t.v[2]=p[k];tep=CircleOfTriangle(t);}}}}}}printf("%.2lf %.2lf %.2lf\n",tep.center.x,tep.center.y,tep.r);
}
int main()
{int n,i;while(scanf("%d",&n),n){for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);Run(n);}
}

方法二：模拟退火法：（hdu3932）

#include"string.h"
#include"stdio.h"
#include"queue"
#include"stack"
#include"vector"
#include"algorithm"
#include"iostream"
#include"math.h"
#include"stdlib.h"
#define M 1009
#define inf 100000000
#define eps 1e-8
#define PI acos(-1.0)
using namespace std;
double X,Y;
int n;
struct Point
{double x,y,dis;Point(){}Point(double xx,double yy){x=xx;y=yy;}bool check(){if(x>0&&y>0&&x<X&&y<Y)return true;return false;}
}p[M],q[50];
double pow(double x)
{return x*x;
}
double Len(Point a,Point b)
{return sqrt(pow(a.x-b.x)+pow(a.y-b.y));
}
double fun(Point a)
{double maxi=0;for(int i=1;i<=n;i++){double L=Len(a,p[i]);if(maxi<L)maxi=L;}return maxi;
}
int main()
{int i;while(scanf("%lf%lf%d",&X,&Y,&n)!=EOF){for(i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);int po=15,est=15;for(int i=1;i<=po;i++){q[i].x=(rand()%1000+1)/1000.0*X;q[i].y=(rand()%1000+1)/1000.0*Y;q[i].dis=fun(q[i]);}double temp=max(X,Y);while(temp>0.001){for(int i=1;i<=po;i++){for(int j=1;j<=est;j++){double rad=(rand()%1000+1)/1000.0*PI*2;Point cur;cur.x=q[i].x+temp*cos(rad);cur.y=q[i].y+temp*sin(rad);if(!cur.check())continue;cur.dis=fun(cur);if(cur.dis<q[i].dis)q[i]=cur;}}temp*=0.8;}int id=1;for(int i=1;i<=po;i++)if(q[id].dis>q[i].dis)id=i;printf("(%.1lf,%.1lf).\n%.1lf\n",q[id].x,q[id].y,q[id].dis);}return 0;
}