武器系统仿真技术(一):系统误差分析的蒙特卡洛算法

1.应用前景

可以用于航空武器系统的误差分析,特别是函数误差的计算。蒙特卡洛法和协方差法是武器系统误差分析中的两种常用方法。其基本思想是通过对随机变量的模拟,对模拟结果进行统计分析,最终给出问题数值解的估计值。

2.武器系统误差的(MonteCarlo)分析方法

设系统的输入与输出之间的关系为:
W=G(X)\mathbf{W}=\mathbf{G}(\mathbf{X}) W=G(X)
式子中X=(X1,X2,...Xn)T\mathbf{X}=(X_1,X_2,...X_n)^TX=(X1,X2,...Xn)T是系统输入变量,而W=(w1,w2,...wm)T\mathbf{W}=(w_1,w_2,...w_m)^TW=(w1,w2,...wm)T是系统输出变量,G(X)=(g1(x),g2(x),...g(x))TG(\mathbf{X})=(g_1(\mathbf{x}),g_2(\mathbf{x}),...g(\mathbf{x}))^TG(X)=(g1(x),g2(x),...g(x))T是系统输入与输出间的函数关系。而εX\varepsilon_XεX是输入系统误差,δX\delta_XδX是输入随机误差。
X=X0+ΔX=X0+δX+εX\mathbf X=\mathbf X_0+\Delta \mathbf{X}=\mathbf X_0+\mathbf{\delta_X}+\mathbf \varepsilon_X X=X0+ΔX=X0+δX+εX

其中有E(X)=X0+εX，E(δxδxT)=Cov(ΔX,ΔX)E(\mathbf X)=\mathbf X_0 + \varepsilon_X，E(\delta_x\delta_x^T)=Cov(\Delta X,\Delta X)E(X)=X0+εX，E(δxδxT)=Cov(ΔX,ΔX)。系统的输出误差为:
ΔW=G(X0+ΔX)−G(X0)\Delta \mathbf{W}=\mathbf{G}(\mathbf{X_0}+\Delta \mathbf X)-\mathbf G(\mathbf{X_0}) ΔW=G(X0+ΔX)−G(X0)
函数误差分析计算的目的是确定E(ΔW),Cov(ΔW,ΔW)E(\Delta\mathbf W),Cov(\Delta \mathbf W,\Delta \mathbf W)E(ΔW),Cov(ΔW,ΔW)。E(ΔW)E(\Delta\mathbf W)E(ΔW)描述了系统输出系统误差的大小,Cov(ΔW,ΔW)Cov(\Delta \mathbf W,\Delta \mathbf W)Cov(ΔW,ΔW)描述了系统输出随机误差的大小:
E(ΔW)=E(W)−G(X0),Cov(ΔW,ΔW)=Cov(W,W)E(\Delta \mathbf{W})=E(\mathbf W)-G(\mathbf X_0),Cov(\Delta \mathbf W,\Delta \mathbf W)=Cov( \mathbf W, \mathbf W) E(ΔW)=E(W)−G(X0),Cov(ΔW,ΔW)=Cov(W,W)
所以就要求出E(W)E(\mathbf{W})E(W)和Cov(W,W)Cov( \mathbf W, \mathbf W)Cov(W,W)即可。若能得到随机向量W\mathbf WW的NNN个抽样值{W(i)}i=1N\{\mathbf W^{(i)}\}_{i=1}^N{W(i)}i=1N，由大数定理有:
∀ϵ>0,limN→∞P{∣1N∑i=1NWi−EW∣<ϵ}=1\forall \epsilon>0,lim_{N\rightarrow \infty}P\{|\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\mathbf W_i-E\mathbf W|<\epsilon\}=1 ∀ϵ>0,limN→∞P{∣N1i=1∑NWi−EW∣<ϵ}=1
同样的中心极限定理(其中σW≈σW^=Sω\sigma_{\mathbf{W}} \approx \hat{\sigma_{\mathbf{W}}}=S_{\omega}σW≈σW^=Sω为ω\omegaω的标准差)也有:
limN→∞P{∣1N∑i=1NWi−EW∣<λασWN}=22π∫0λαe−t22dt=1−αlim_{N\rightarrow \infty}P\{|\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\mathbf W_i-E\mathbf W|<\frac{\lambda_{\alpha}\sigma_{\mathbf{W}}}{\sqrt{N}}\}=\frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\lambda_{\alpha}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt=1-\alpha limN→∞P{∣N1i=1∑NWi−EW∣<NλασW}=2π2∫0λαe−2t2dt=1−α
设Wˉ=1N∑i=1NWi\bar{W}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\mathbf W_iWˉ=N1∑i=1NWi,那么输出的样本协方差矩阵为:
CW2=1N−1∑i=1N(W(i)−Wˉ)(W(i)−Wˉ)T={cjk}m×mC_{\mathbf{W}}^2=\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N(\mathbf W^{(i)}-\bar{\mathbf W})(\mathbf W^{(i)}-\bar{\mathbf W})^T=\{c_{jk}\}_{m\times m} CW2=N−11i=1∑N(W(i)−Wˉ)(W(i)−Wˉ)T={cjk}m×m
函数误差分析计算的算法是蒙特卡洛方法,首先必须模拟产生输出随机向量W\mathbf WW的抽样值,进一步是要模拟得到输入值{X(i)}i=1N\{\mathbf X^{(i)}\}_{i=1}^N{X(i)}i=1N。“将对输出随机向量抽样值的模拟产生问题,转化为对输入随机向量抽样值的模拟产生问题”。所以,函数误差分析计算的蒙特卡洛法,关键问题是如何利用这些已知条件产生输入随机向量的抽样值。其特点有运算量大,精度不高，收敛速度慢,无法看出某个输入对总体影响程度的估计,但是具有一般性,适应面宽的特点。