武器系统仿真技术(二):末端制导系统蒙特卡洛仿真法

1.蒙特卡洛仿真方法的统计特性

假设一个mmm个系统输出数据{yi}i=1m\{y_i\}_{i=1}^m{yi}i=1m，NNN次循环得到NNN组数据{{yi}i=1m}j=1N\{\{y_i\}_{i=1}^m\}_{j=1}^N{{yi}i=1m}j=1N。那么实际上会有以下两组统计特性指标:

1.2数值统计特性:

(1)数学期望:E(y)≈1N∑k=1NykE(y) \approx \frac{1}{N}\sum_{k=1}^Ny_kE(y)≈N1∑k=1Nyk

(2)方差:σy2≈1N∑K=1N(yk−Ey)2\sigma_y^2 \approx \frac{1}{N}\sum_{K=1}^N{(y_k-Ey)}^2σy2≈N1∑K=1N(yk−Ey)2

(3)概率密度函数:p(y)≈NyNΔyp(y)\approx\frac{N_y}{N\Delta y}p(y)≈NΔyNy,其中若将区间(a,b)(a,b)(a,b)划分为LLL段,则Δy=b−aL\Delta y=\frac{b-a}{L}Δy=Lb−a,其中NyN_yNy是数值满足不等式:

(y−0.5Δy)<y<(y+0.5Δy)(y-0.5\Delta y)<y<(y+0.5\Delta y)(y−0.5Δy)<y<(y+0.5Δy)的个数,用曲线拟合可以得到概率密度函数p(y)p(y)p(y)

1.3 时间统计特性计算(Y(t)是平稳随机过程):

(1)时间均值E{yK(t)}=limT→∞1T∫0TyK(t)dtE\{y_K(t)\}=lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_0^Ty_K(t)dtE{yK(t)}=limT→∞T1∫0TyK(t)dt

(2)时间均方差σyK2=limT→∞1T∫0T{yK(t)−E{yK(t)}}2dt\sigma_{y_K}^2=lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_0^T\{y_K(t)-E\{y_K(t)\}\}^2dtσyK2=limT→∞T1∫0T{yK(t)−E{yK(t)}}2dt

(3)自相关函数RyK(t1,t2)=limT→∞1T∫0TyK(t)yK(t+τ)dtR_{y_K}(t_1,t_2)=lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{T}\int_0^Ty_K(t)y_K(t+\tau)dtRyK(t1,t2)=limT→∞T1∫0TyK(t)yK(t+τ)dt

2.仿真实例

以导弹末端制导系统仿真为例,说明该仿真方法的应用

2.1仿真原理及算法

1.系统组成

一个导弹末端制导系统由控制系统,导引头,目标运动,导弹运动和相对运动等若干环节组成,这些环节构成了末端制导系统(如下图所示)。符号说明:R:R:R:视线距,λ:\lambda:λ:视线角,aca_cac:控制指令,aLa_LaL:导弹控制系统对制导指令的响应(实际视线法向加速度)。采用比例制导法,那么ac=Kvcλ˙a_c=Kv_c\dot{\lambda}ac=Kvcλ˙,其中KKK为比例导引系数,vcv_cvc为导弹实际接近目标的速度,λ˙\dot{\lambda}λ˙为目标的实际角速度。

2.工作原理

由视线角速度λ˙\dot\lambdaλ˙进过制导计算机形成制导指令,导弹控制系统执行制导指令,改变导弹的姿态运动并且给出导弹视线法向加速度,影响导弹同目标运动的相对运动,使得R(tF)R(t_F)R(tF)(即在一段飞行时间内导弹的视线距尽可能小)。

仿真目的在于通过仿真活得脱靶量y(tF)y(t_F)y(tF)在不同的mmm个飞行时间内由于随机目标机动运动造成的均方根σy(1),σy(2),σy(3)...,σy(m)\sigma_{y(1)},\sigma_{y(2)},\sigma_{y(3)}...,\sigma_{y(m)}σy(1),σy(2),σy(3)...,σy(m),以及相关的数值和时间统计特性。

3.制导系统的线性化模型

仿真过程中:aTa_TaT是目标的运动加速度是随机量,其代表的是一类“电报机动”的随机干扰模型,即目标要么正的最大加速度机动,要么负的最大加速度机动,机动开始时间和正负方向都是随机的。当运动规律确定的时候,开始时间随机的随机扰动可以描述为:
x(t)=h(t−T)pT(t)=1tF(0≤t≤tF),0(else)x(t)=h(t-T)\\ p_T(t)=\frac{1}{t_F}(0\leq t\leq t_F),0(else) x(t)=h(t−T)pT(t)=tF1(0≤t≤tF),0(else)
在本例中,目标做随机机动,其视线法向加速度 aTa_TaT的幅值为29.4m/s,加速度的正负符号和开始时间TTT为在区间(0,tF)(0,t_F)(0,tF)内的等概率的随机量。其描述如下:
aT(t)=Coef∗aT∗sign(t−T)Coef=1(Random>0.5),−1(random<0.5),pT(t)=1tF(0≤t≤tF),0(else)a_T(t)=C_{oef}*a_T*sign(t-T)\\ C_{oef}=1(Random>0.5),-1(random<0.5),p_T(t)=\frac{1}{t_F}(0\leq t\leq t_F),0(else) aT(t)=Coef∗aT∗sign(t−T)Coef=1(Random>0.5),−1(random<0.5),pT(t)=tF1(0≤t≤tF),0(else)
其中R(0)R(0)R(0)为视线距初值,tF=R(0)vct_F=\frac{R(0)}{v_c}tF=vcR(0),y(tF)y(t_F)y(tF)定义为脱靶量,tgo=tF−tt_{go}=t_F-ttgo=tF−t为剩余飞行时间,vctgov_ct_{go}vctgo为剩余飞行距离,视线角为λ=yvctgo\lambda=\frac{y}{v_ct_{go}}λ=vctgoy。一些其他的参数标注为v_c=1219m/s,K=3,系统时间常数T=1s,导弹速度v_m=914.4m/s。

设X=(y,y˙,ac,aL)TX=(y,\dot{y},a_c,a_L)^TX=(y,y˙,ac,aL)T系统的状态方程可以描述为:
X˙=f(t,X,aT,tF)\dot{X}=f(t,X,a_T,t_F) X˙=f(t,X,aT,tF)
其中:X˙=(X(2),aT−X(4),K(X(2)tF−t+X(1)(tF−t)2),X(3)−X(4)T)T\dot X = (X(2),a_T-X(4),K(\frac{X(2)}{t_F-t}+\frac{X(1)}{(t_F-t)^2}),\frac{X(3)-X(4)}{T})^TX˙=(X(2),aT−X(4),K(tF−tX(2)+(tF−t)2X(1)),TX(3)−X(4))T。

其流程图可以表述如下:

2.2 仿真代码及结果

clc,clear;close all;
v_c = 1219;K = 3;T = 1;
v_m = 914.4;a_T = 29.4;
coffient.K = K;
coffient.a_T = a_T;
t_f = 10;h = 0.1;
%重要参数区间
E = [];D = [];time_point = [];
for time = h:h:t_fT =  time*rand;%产生常数Tx0 = [0 0 0 0]';%下面进行参数结构体赋值coffient.t_F = time;coffient.T = T;[tout,yout] = Adams_4v(@(t,x)missle_model(t,x,coffient),[0 time],x0,(time - 0)/50);%下面计算具体参数time_point = [time_point;time];E = [E;mean(yout(:,1))];D = [D;sqrt(mean((yout(:,1) - mean(yout(:,1))).^2))];
end
%下面进行绘图操作
subplot(121)
hold on;box on;grid on;
plot(time_point,E,'bo');
xlabel('t_F/s');ylabel('E(y_P{t_F})/m');
title('数学期望仿真结果');
subplot(122)
hold on;box on;grid on;
plot(time_point,D,'r-+');
xlabel('t_F/s');ylabel('\sigma(y_P{t_F})/m');
title('方差仿真结果');%导弹末端制导模型
function f = missle_model(t,x,coffient)K = coffient.K;t_F = coffient.t_F;aT = coffient.a_T;T = coffient.T;f = zeros(4,1);%下面给出随机a_Tif rand >= 0.5C_oef = 1;elseC_oef = -1;endif t>Tflag = 1;elseflag = 0;enda_T = C_oef*aT*flag;%下面是函数导数f(1) = x(2);f(2) = a_T - x(4);f(3) = K*(x(2)/(t_F - t) + x(1)/(t_F - t)^2);f(4) = (x(3) - x(4))/T;
end%下面是4阶亚当姆斯预估-校正法
function [t_,y] = Adams_4v(f,tspan,x0,h)t_min = tspan(1);t_max = tspan(2);t_f1 = [t_min,t_min+h,t_min+2*h,t_min+3*h];t_f2 = [t_min+h,t_min+2*h,t_min+3*h,t_min+4*h];fn1 = zeros(1,4);fn2 = zeros(1,4);y = [];t_ = [];x = x0;t = t_min;%下面是用RK-4初始化提供初值while(t<t_f1(end))y = [y;x'];t_ = [t_;t];K1 = h*f(t,x);K2 = h*f(t + h/2,x + 1/2*K1);K3 = h*f(t + h/2,x + 1/2*K2);K4 = h*f(t + h,x + K3);x = x + (K1 + 2*K2 + 2*K3 + K4)/6;t = t + h;endfor t = (t_min+3*h):h:t_maxy = [y;x'];t_ = [t_;t];x_ = x + h/24*(55*f(t,x)-59*f(t-h,x)+37*f(t-2*h,x)-9*f(t-3*h,x));f_ = f(t+h,x_);x = x + h/24*(9*f_ + 19*f(t,x) - 5*f(t-h,x) + f(t-2*h,x));end
end

结果: