隐函数存在定理1的几何解释
在这里首先感谢知乎大神费多西先生 使用作图的方式,让我能对这个抽象的概念进行深刻的理解,解决了我一早上的困惑;再次感谢;
首先来列出隐函数存在定理概念:
首先,我们知道z = F(x,y)描述的是一个空间曲面;定理中描述的F(x,y) = 0 描述的是一种什么情况呢,我们来看图:
F(x,y) = 0 描述的是用平行于平面xOy的,高度为0的平面,截取空间曲面形成一个平面图形;
接下来看一下关于F(x,y)关于x的偏导数的几何意义:
F(x,y)关于X的偏导数的空间几何意义: 首先将F(x,y)中的y固定为一点,通过该点,做平行于XoZ的平面(命名为A),A与空间曲面的交线是一条曲线,自变量是X,因变量是z; F(x,y)对X的偏导数的几何意义就是在一个确定的y上,Z随X的瞬间变化率;
然后我们再来看一下F(x,y)关于Y的偏导数的几何意义;
如下图:
同样,和关于X的偏导数一样的操作,使用平行于yOX 的平面去截取空间曲面,会得到一条自变量是Y,因变量是z的曲线, 故F(x,y)关于y的偏导数的几何意义是 固定一个x 后,z随y的瞬时变化 率;
以上都是隐函数存在定理的准备知识,接下来对定理进行分析:
首先放图:
如图: 该曲面在点P(蓝色点)处 满足F(x0,y0) = 0; 且该点的关于y的偏导数不等于零,(如果等于零的话,表示在 空间曲面和平面XOY 相交形成的曲线方向上,p点的切线与Y轴平行,这样使得一个x对应了多个Y,不符合函数的定义,也就是不能确定隐函数的存在;),所以可以确定唯一的一个具有连续导数的函数y = f(x),且其导数等于 原偏导数的上的负值;
如有错误之处,请批评指教,谢谢;再次感谢知乎题主费多西的支持和帮助!
转载于:https://blog.51cto.com/10901086/2146928
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