整数划分问题 java

整数划分问题

题目：

将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+…+nk ，其中，k≥1。正整数n的这种表示称为正整数n的划分。请设计一个算法，求正整数n的不同划分个数或方案。例如正整数6有以下11种不同的划分个数或方案：
{6}；
{5+1}；
{4+2}，{4+1+1}；
{3+3}，{3+2+1}，{3+1+1+1}；
{2+2+2}，{2+2+1+1}，{2+1+1+1+1}；
{1+1+1+1+1+1}。

ps:这是课程实验报告中的一道题目，小编在做完报告解完题目之后将之梳理总结于此。若小伙伴未看完题目作出自己的一番思考，建议认真理解题目思索一番再观看本文噢~ *

正文开始（思路分析）

整数划分问题，将正整数n表示成一系列正整数之和，我们不妨将划分而成的一系列正整数称为分整数，而在这些分整数中，存在着一个最大分整数。依据题目的定义，以及给出的具体例子，可以知道一个正整数n可能存在着多种划分情况，而划分情况的最大分整数，可能是不一样的，并且可知的是最大分整数的上界是n，下界是1。

因此我们可以假设一个函数f（n，m），n为待划分的正整数，且最大分整数不超过m，函数总体表示在正整数n的最大分整数不超过m的划分情况下，一共有多少种划分的方案。
因此，求题目的解就可以转化为求f（n，n）的值。
算法核心部分在于讨论n和m的关系。

☆· 当n>m>1时
若正整数n的分整数中包含m，即划分的时候其中一个分整数取了m，那么现在正整数n的值就变为了n-m，而我们还需要求f（n-m，m）的划分个数，即在取了m的条件下，有多少种划分方案。因此本情况的划分总数为f（n-m，m）的值；
若正整数n的分整数中不包含m，即最大分整数不为m，那么最大分整数就尝试取m-1，故我们要看看f（n，m-1）的划分个数。因此本情况的划分总数为f（n，m-1）的值。
综合：f（n，m）= f（n-m，m）+ f（n，m-1）

☆· 当n=m时
若正整数n的分整数中包含m，那么划分情况就只有一种，即n=m；
若正整数n的分整数中不包含m，即最大分整数不为m，那么最大分整数就尝试取m-1，故我们要看看f（n，m-1）的划分个数。因此本情况的划分总数为f（n，m-1）的值。
综合：f（n，m）=1+f（n，m-1）

☆· 当n<m时
由题目设定我们可知m的上界是n，不能够大于n，因此本情况转化为求f（n，n）的值。

☆边界：当n=1或者m=1时，均有一种划分情况，即分整数为1或者为n个1。

由此我们可以写出f（n，m）的递归式：

依据此递归式以及上文的思路分析，在深入认识了题目、了解其解决方法后，我们可以进行编程，代码实现思想。

代码实现（JAVA）

public int Divide (int n,int m) {if(n<1 || m<1)     //边界，当n或者m小于1时，不满足题目正整数的要求，故划分情况为0return 0;if(n==1 || m==1)   //边界，当n为1时只有一种划分情况即{1}；当m为1时只有一种划分情况即{1，1，…，1}，有n个1return 1;if(n==m)         //当n等于m时候，考虑划分的时候取不取m，将这两个途径的情况相加return 1+Divide (n,n-1);if(n<m)           //当n小于m时，m突破上界，其最大只能为m，因此将m拉低回与n相等，求其划分情况return Divide (n,n);return Divide (n-m,m)+ Divide (n,m-1);   //这种情况是当n>m>1的时候，考虑划分的时候取不取m，将这两个途径的情况相加}

/ / Divide()方法即为思路分析中的 f () 方法

实验结果

写在后面

本文可以说是【递归】算法的一次实践性运用，在解答题目、编写算法时，巩固了递归算法的掌握度。
如果对【递归算法】仍有存疑的地方，可以参照观看上一篇博文的关于递归算法的浅显讲解《谈谈递归》

跟我一起回顾递归吧~~（点击链接即可）

本文旨在解决整数划分问题一共能有多少种不同的划分方案，即求得划分方案总数量，但未设计算法实现将每一种划分方案以可见的结果显示出来，姑且将其留在下一篇博文中介绍讲解。
学习讲究一个循序渐进的过程，唯有将基础的思想内化吸收，深究拓展探索才有意义。希望大家能够理解完全本文的思想内涵，有所收获。❀