模线性方程ax≡b(mod n) (再结合程序理解）

推论1：方程ax≡b(mod n)对于未知量x有解，当且仅当gcd(a,n) | b (b能被gcd(a,b)整除)。

即：若gcd(a,n)|b ==> 有一个解x,使得ax≡b(mod n).

推论2：方程ax≡b(mod n)或者对模n有d个不同的解(有解当且仅当d | b)，其中d=gcd(a,n)，或者无解。

定理1：设d=gcd(a,n)，假定对整数x'和y'满足d=ax'+by'(比如用扩展Euclid算法求出的一组解)。如果d | b，则该方程对模n有d个不同的解，方程ax≡b(mod n)有一个解x0满足x0=x'*(b/d) mod n 通解为xi = x0 + i*(n / d)(d = 0, 1, 2, ..., d - 1)。特别的设e=x0+n，方程ax≡b(mod n)的最小整数解x1=e mod (n/d)，最大整数解x2=x1+(d-1)*(n/d)。

定理2：假设方程ax=b(mod n)有解，且x0是方程的任意一个解，则该方程对模n恰有d个不同的解(d=gcd(a,n))，分别为：xi=x0+i*(n/d) mod n 。

类似地: 可以求ax + by = c的整数解(x, y)。==> ax ≡ c(mod b), d = gcd(a, b) | c 时有解。有一个解x0 = x’* (c / d) mod b, y0 = (-a * x0 - c) / b; 通解xi = x0 + i * (b / d), yi = y0 - i * (a / d) (i = 0, 1, 2, ..., d - 1)。

附:扩展欧几里得代码

int exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int r = exgcd(b, a%b, x, y);
int t = x;
x = y;
y = t - a/b* y;
return r;
}

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