线性代数 | (1) 矩阵Part One

1. 矩阵是什么？

2. 几种特殊的矩阵

3. 矩阵的运算

4. 方阵的行列式

5. 伴随矩阵

6. 矩阵初等变换

7. 矩阵的秩

8. 初等矩阵

1. 矩阵是什么？

矩阵被认为是线性代数中最基础的内容，也是研究线性代数其他内容的工具。

由m*n个数按一定的次序排成的m行n列的矩形数表称为m*n 的矩阵,简称矩阵:

横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的列. $a_{ij}$ 称为矩阵的第i行j列的元素.元素为实数的矩阵我们称为实矩阵，我们目前只讨论实矩阵。

矩阵通常用大写字母A、B、C等表示，如：

简记为 $A = (a_{ij})_{m*n}$ .

行矩阵：

列矩阵：

矩阵是翻译过来的词，英文是Matrix，这个翻译很好。既形象又大气。阵这个词很容易让我们想到那种气势庞大的阵列。让你感觉到那种重要和不可替代。

2. 几种特殊的矩阵

方阵

当m=n时，即矩阵的行数与列数相同时，称矩阵为方阵。

主对角线从左上到右下，元素的下标相同，即i=j. 注意只有方阵才有主对角线。

斜对角线从右上到左下，只有方阵才有斜对角线。

零矩阵

对角矩阵

对角矩阵首先得有对角线，所以必须是方阵。

其它没写出的元素都是零。

单位阵

若对角线上的元素都是1，就得到又一个特殊的矩阵:

这个矩阵称作单位矩阵，记作 $E_{n}$ 或 $I_{n}$ 。

数量矩阵

若对角线上的元素是相同的数k，得到的特殊矩阵为：

这个矩阵称作数量矩阵。

三角阵

上三角矩阵：

下三角矩阵：

梯形阵

设 $A=(a_{ij})_{m*n}$ 为非零矩阵，若非零行(即至少有一个非零元素的行)全在零行的上面， A中各非零行中第一个(最后一个)非零元素前(后)面零元素的个数随行数增大而增多(减少)，则称为上(下)梯形矩阵。简称为上(下)梯形阵。

3. 矩阵的运算

线性运算：

相等

两个矩阵相等是指这两个矩阵有相同的行数与列数, 且对应元素相等.即：

加、减法

$A = (a_{ij})_{mn},B = (b_{ij})_{mn}$

矩阵加减必须是同型的，对应位置元素相加减：

运算规律：

负矩阵：

$A=(a_{ij})_{mn}$ 的负矩阵为 $(-a_{ij})_{mn}$ ,记作-A，即 $-A = (-a_{ij})_{mn}$

数乘

与数的乘法，简称为数乘。记作： $kA$

数k乘矩阵中的每一个元素。

运算规律：

矩阵乘法

$A=(a_{ij})_{m\times s},B=(b_{ij})_{s\times n},C = AB = (c_{ij})_{m \times n}$ (A的列数必须等于B的行数)：

注意：

1） $AB \neq BA$ ,矩阵乘法不满足交换率.

2） $AB = AC,B\neq C$ ,不满足消去率;

3）有非零的零因子。

运算规律：

练习

$AB = E_{n}$ (对角阵相乘等价于直接对应位置元素相乘)。

其他运算：

方阵的正整数幂

注意 $(AB)^k = A^kB^k$ 成立的条件是 $AB=BA$ .

矩阵的转置

行列互换。

运算规律：

对称阵与反对称阵（方阵）

对称阵：

$A^{T} = A,a_{ij}=a_{ji}$

下面的几个矩阵都是对称阵：

反对称阵：

$A^{T} = -A,a_{ij}=-a_{ji}$ 且 $a_{ii}=0$

下面这个矩阵是反对称阵：

任一方阵都可以分解成对称阵与反对称阵的和：

练习

数学归纳法：

4. 方阵的行列式

由方阵A所构成的行列式称为方阵的行列式,记为 $|A|$ 或 $det A$

若方阵的行列式不为零,则称方阵为非奇异方阵,否则称为奇异方阵.

由方阵A所确定的行列式作为一种运算除具有一般的行列式的性质外，还有如下性质:

设A, B均为n阶方阵，k为常数，则有:

练习

奇数阶反对称阵的行列式为零：

5. 伴随矩阵

写伴随矩阵 $A^{*}$ 时，注意代数余子式的顺序。

主对角线元素互换，斜对角线元素取相反数。

6. 矩阵初等变换

以下三种变换分别称为矩阵的第一、第二、第三种初等变换:

矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。

初等变换可以简化矩阵，如将矩阵化为梯形阵。

矩阵等价

对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作 $A \cong B$ .

等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。即

7. 矩阵的秩

k阶子式

在 $A_{m\times n}$ 中任取k行k列，位于这些行列相交处的 $k^2$ 个元素，按原次序组成的 k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式.一般地，m*n矩阵A的k阶子式有 $C_{m}^{k}C_{n}^{k}$ 个。

矩阵的秩

矩阵 A 的所有不等于零的子式的最高阶数称为矩阵 A 的秩。记作 $r(A)$ .

显然:r(O)=0;只要A不是零矩阵, 就有 r(A)>0.并且:

任意一个矩阵都可经初等变换化为梯形阵.梯形阵的秩等于其非零行的行数.矩阵经初等变换后其秩不变.

原矩阵的秩就等于经初等变换后得到的梯形矩阵的秩，即梯形矩阵非零行的行数。

用初等变换求矩阵的秩：

练习

将秩与行列式结合：

矩阵的秩是矩阵的一个重要的数字特征。

显然，若两个矩阵有相同的秩，则这两个矩阵有相同的标准形，从而等价;反之，若两个矩阵等价，则它们的秩相同。

矩阵A与B等价的充要条件是r(A)=r(B).

满秩矩阵

若方阵A的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵; 否则称为降秩矩阵。

设方阵A为满秩阵,则A的标准形为同阶单位阵 E .即：

若方阵A的行列式 $|A| \neq 0$ ，则称A为非奇异矩阵,A是满秩的，即 $r(A) = n$ ; 若 $|A| = 0$ ，则称为A为奇异矩阵,A是降秩的，即 $r(A) < n$ 。

8. 初等矩阵

对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。

三种初等行变换得到的初等矩阵分别为:

1）互换第i、j行：

2）第i行乘以k：

3）第j行乘以k加到第i行：

对单位阵作一次列变换得到的矩阵也包括在上面的三类矩阵之中。

初等矩阵的性质

1）初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵.

2）初等矩阵都是非奇异的.

初等矩阵和初等变换的关系

初等行变换相当于左乘初等矩阵; 初等列变换相当于右乘初等矩阵.

满秩矩阵

若方阵A的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵; 否则称为降秩矩阵。

设A为满秩阵,则A的标准形为同阶单位阵 E .即

以下命题等价:

矩阵A与B等价的充要条件为存在m阶及n阶满秩阵P、Q，使得 $A_{m\times n} = P_mB_{m\times n}Q_n$ ,

由此还可得到:若P、Q为满秩阵，则:

练习