前言：这是算法中很经典的一道题

题目：7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为NπNπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。

设从下往上数第i层蛋糕是半径为RiRi, 高度为HiHi的圆柱。

当i < M时，要求RiRi > RiRi+1且HiHi > HiHi+1。

由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面(最下一层的下底面除外)的面积Q最小。

令Q = Sπ ，请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案(适当的RiRi和HiHi的值)，使S最小。

除Q外，以上所有数据皆为正整数 。

输入格式

输入包含两行，第一行为整数N(N <= 10000)，表示待制作的蛋糕的体积为NπNπ。

第二行为整数M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。

输出格式

输出仅一行，是一个正整数S(若无解则S = 0)。

数据范围

1≤N≤100001≤N≤10000,

1≤M≤201≤M≤20

输入样例：

100

2

输出样例：

68

题解思路：

该题是经典的爆搜剪枝问题，要求体积不变下，表面积最小(除了第一层的底面积) ，那么从每一层蛋糕的角度来看，蛋糕的半径和高度都是单调递减，从枚举每一层的半径和高度，枚举的时候有一个原则，即优先枚举 选择决策少的来扩展，半径和高度这两个变量搜索范围的确定有点意思，后面会讲解。

关于爆搜剪枝问题，剪枝当然是重中之重，该题可以提出四个剪枝方法；剪枝经常应用于深搜和广搜当中，策略就是寻找过滤条件，提前减少不必要的搜索路径。

搜索解的讨论(搜索极其重视搜索顺序，个头大的先搜索，方案数将较少)：1、贪心的思想是保持每步最优解，以达到全局最优解2、爆搜如何产生最优解呢？将需要搜索顺序排成从大到小，从中进行搜索。

从蛋糕从下往上搜索，上表面积就是最下面圆的面积，求解过程注重侧面积和体积即可，

假设当前状态有 s,v,rdep+1∼m,hdep+1∼ms,v,rdep+1∼m,hdep+1∼m， dep对应的状态，有：

n−v≥r2dephdep

n−v≥rdep2hdep

有上界：

rdep=min(n−v,rdep+1−1)

rdep=min(n−v,rdep+1−1)

hdep=min(n−vr2dep,hdep+1−1)

hdep=min(n−vrdep2,hdep+1−1)

有下界：

rdep=dep,hdep=dep

rdep=dep,hdep=dep

很明显，ri=i,hi=iri=i,hi=i 是最小的情况，

它们对应的 minsi=2rihi=2i2,minvi=r2ihi=i3minsi=2rihi=2i2,minvi=ri2hi=i3

如果当前结果加最小情况超过答案，那么后面就不会有解。

在有解的情况下，有下面不等式成立：

s1∼dep−1=2∑i=1dep−1rihi,v1∼dep−1=n−v=∑i=1dep−1r2ihi

s1∼dep−1=2∑i=1dep−1rihi,v1∼dep−1=n−v=∑i=1dep−1ri2hi

ri

ri

s1∼dep−1=2∑i=1dep−1rihi=2rdep∑i=1dep−1rihirdep≥2rdep∑i=1dep−1r2ihi

s1∼dep−1=2∑i=1dep−1rihi=2rdep∑i=1dep−1rihirdep≥2rdep∑i=1dep−1ri2hi

s1∼dep−1≥2(n−v)rdep

s1∼dep−1≥2(n−v)rdep

即，2(n−v)rdep2(n−v)rdep 是后面未求面积的下限，如果 2(n−v)rdep+s2(n−v)rdep+s 大于答案，那么这样的状态是不会更优的。

作者：VMice

链接：https://www.acwing.com/solution/AcWing/content/1500/

#include

#include

#include

using namespace  std;

const int N=25,Inf=1e9;

//全局变量

int n,m;

int R[N],H[N];//每层的半径和高度

int minv[N],mins[N];

int res=Inf ; //定义初始答案为正无穷

/*

爆搜：对每层蛋糕的半径和高度进行搜索，注意更新半径和高度

*/

void dfs(int u,int v,int s)//args:当前层数、当前体积、当前表面积

{

//四个剪枝方法

if(v+minv[u]>n)return;

if(s+mins[u]>=res)return;

//最重要的优化

if(s+2*(n-v)/R[u+1]>=res)return;

if(!u)  //如果到达最上一层，输出最上一层，非常重要的一个语句，目的是使爆搜达到条件后终止

{

if(n==v)res=s;//在最后一层搜索时，主要的操作步骤是找到满足条件的解后结束

return;

}

//终于理解了为什么第u层的r,h最小半径为u,因为最顶层r,h最小为1,那么依次递增，最大层的m的r,h最小值为m

for(int r=min((int)(double)sqrt(n-v),R[u+1]-1);r>=u;r–)//枚举状态，r,h从大到小枚举，同时有范围

for(int h=min((n-v)/r/r,H[u+1]-1);h>=u;h–) //

{

//注意当最后一层确定时，要加第一层的低盘面积

int t=0;

if(u==m)t=r*r;

R[u]=r,H[u]=h;   //新知识点：更新当前的半径和高度

dfs(u-1,v+r*r*h,s+2*r*h+t);//参数更新及传递

}

}

int main()

{

//读入数据

cin>>n>>m;

//初始化minv,mins

for(int i=1;i<=m;i++)

{

// minv[i+1]=minv[i]+i*i*i;

//mins[i+1]=minv[i]+2*i*i;

minv[i]=minv[i-1]+i*i*i;

mins[i]=mins[i-1]+2*i*i;

}

//处理搜索边界#这里设置哨兵，帮助完成边界

R[m+1]=H[m+1]=Inf;//?

dfs(m,0,0);//赋初值最底下一层，初始面积为0，初始表面积为0

cout<

for(int i=0;i

{

cout<

cout<

cout<

}

return 0;

}