线性子空间的交、并、和、维数与直和等各种关系总结

线性子空间（linear subspace）

线性子空间（又称向量子空间，简称子空间）是线性空间中部分向量组成的线性空间。设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间.

定义设W是域P上的线性空间V的一个非空子集合，若对于V中的加法及域P与V的纯量乘法构成域P上的一个线性空间，则称W为V的线性子空间（或向量子空间），或简称子空间。 [2]

注：1.V的非空子集W是子空间的充分必要条件是：

（1）子集合W的任意两个向量α与β之和α+β仍是W中的向量；

（2）域P的任一数k与子集合W的任意一个向量α的积kα仍是W中的向量。

2.在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间。

3.线性空间V自身与单独一个零向量都是V的线性子空间。这两个特殊的子空间称为V的平凡子空间；除平凡子空间外的线性子空间称为V的非平凡子空间。

1.子空间的交

线性子空间的交一定是线性子空间。令W1与W2是两个线性子空间，那么子空间的交可定义为W= W1∩W2=(x|x belong to W1 且 x belong to W2) 。若这些子空间公共的唯一向量为零向量，i.e.W={0}，则称子空间W1、W2无交连（disjoint）。

2.子空间的并

线性子空间的并不一定是线性子空间，直观的理解为两个集合的并，不满足加法的封闭性。只是单纯把每个元素累积起来。

exp:L1=（3,1,0,0,0）(0,2,1,0,0) L2=(1,1,2,0,0) (0,2,1,0,0)

则L1∪L2={ (3,1,0,0,0)，(0,2,1,0,0) ，(1,1,2,0,0) ，(0,2,1,0,0) }

3.子空间的和

线性子空间的和是由各个子空间的一组线性无关的基向量所构成一个空间，是一个线性子空间。其定义可为W=(x1+x2|x1 belong to W1 and x2 belong to W2)称之为W1与W2的和，记为W1+W2。

在子空间的和运算中，满足交换律与结合律。

交换律： W1+W2=W2+W1；

结合律： (W1+W2)+W3 = W1+(W2+W3)；

引理：同时可以推导出线性空间维数的关系有

dim W1+dim W2 = dim ( W1+W2 ) +dim(W1∩W2)

exp:假设L1=（3,1,0,0,0）(0,2,1,0,0) L2=(1,1,2,0,0) (0,2,1,0,0)

则L1+L2为三维空间，其中子空间的交为一维空间.

求解方法：把所有子空间的组合所构成的矩阵化为标准阶梯型即可求出线性无关的基向量.

4.子空间的直和

直和的定义：V的两个子空间W1与W2，如果对a属于W1+W2有 a=a1+a2(a1 belong to W1,a2 belong to W2)是唯一的，则称W1+W2为W1与W2的直和，记W1圈加W2.

由此可以推出，当W1+W2为W1与W2的直和时，则有dim(W1∩W2) = 0；

故：dim W1+dim W2 = dim ( W1+W2 )

5.子空间的补空间

设W是线性空间V的一个线性子空间，那么存在一个子空间U,使得

V = W 圈加 U

那么称U为W的补子空间。

6.子空间的正交

若U,W为欧式空间V的线性子空间，对于任意的x属于U与y属于W，都有

（x，y）=0

则称U与W正交，记U⊥W.

如果一个向量x与W的任意一个向量正交，则称x与W正交，记x⊥W.

正交空间的交集为0，且正交空间的和为直和。

参考：张祥朝线性子空间的交、和、直和[0]复旦大学光科学与工程系 2013.5.19

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