维数的性质及其哲学意义

维数的性质及其哲学意义
                                                孙博文等
1
    空间和时间是物质存在的基本形式,而维数则是描述空间和时间的最基本的特征量之
一.不管维数来自于经验还是来自于直觉,它已经成为人类科学思维活动中不可摆脱的概
念.点是0维,直线是1维,平面是2维,而我们居住的空间是3维(如果把时间和空间同等处理
--如相对论,则我们居住的空间是4维).所有这些直观经验启发我们,可将维数看成是确定
几何对象中一点的位置所需的独立坐标数，或独立变量的数目。也就是说，当想确定直
线上的某一点时,我们只需要一个变量;而要确定平面上的某一点时,则需要二个变量.这
种想法看来是非常自然的,而且完全有理由认为维数只能是整数.那么对任意非负的整数
N,作为N维空间考虑时,在数学上也是完全允许的.实际上,在质点运动的相空间理论中"N
维空间"已有了很多的应用.
    然而,早在1890年,对经验维数的这种认识就已有人提出了深刻的置疑.意大利数学家
皮亚诺(Peano)构造的填充空间曲线(皮亚诺曲线),可以把整个平面完全覆盖.即是说,可
用一个实数表示应是2维的平面上的任意点.也就是说,如果从独立变量的角度考虑,可把
N维空间看作1维.这显然是对传统维数观念的一个冲击.正如当时德国数学家康托(Canto
r)所认为的:将任何N维空间的元素要由N个独立的实数坐标确定,并把这一假定作为必要
的前提加以使用的观点是错误的,他告诫大家,“所有使用这一错误假定的无论是哲学的
,还是数学的推理都是不能允许的”.看来即是独立坐标数和维数必是整数的假设是站不
住脚的.况且近年来兴起的分形理论又迫使我们接触到分数维(Fractal dimension)的概
念，这不得不使我们重新思考维数的性质及其所具有的意义.
2
    维数何以为分数？让我们看这们一个事实:把一个正方形的每个边长增加为原来的2
倍,得到一个大正方形,它正好等于2^2=4 个原来的正方形.类似地,把一个正方体的每个
边长增加为原来的2倍,就得到2^3=8个原来大小的立方体.推而广之,一个d维几何对象的
每个独立方向,都增加为原来的L倍,结果得N个原来的对象,这三个数这间的关系是L^d=N
.我们不难验证,对于一切普通的几何对象,这个简单关系都是成立的.现在把这个关系式
两面取对数,写成d=LnN/LnL,我们便可以看出d不必要是整数了.
    从集合论的角度看,维数是测度的函数,而测度是某一集合的实数对应,是对几何形体
的测量.既然是测量便可以有不同方法,而不同的方法便产生了不同的测度观,传统的测度
观，可以用勒贝格(Lebesgue)测度来概括,它是以在笛卡儿坐标系中的各个坐标分量的笛
卡儿集合为覆盖单元,将几何对象满复盖后取下确界而得.这种方法是建立在传统的欧式
空间的基础上的,所以它的维数就是传统的整数维数.本世纪初,德国数学家豪斯道夫(Ha
usdorff)给出了另一个测度方法.它将一抽象集合作为覆盖单元,而这集合的直径的D次方
之和取下确界便是所测几何对象的测度,从而摆脱了欧氏空间的束缚.这里的D便是此几何
对象的维数,显然D不必一定是整数,而是一个实数,对规整几何对象来说它等于欧氏维数
,而对那些非常规整几何对象却可能是分数维.
    不同的测度观产生不同的维数体系,而不同的维数体系使我们对集合对象有不同程度
的理解.从形式上说,维数是集合层次结构的一种量值标号.由于考察集合的角度不同,所
以划分集合层次的方法也不同.正确的层次划分方法应使得不同层次中的元素相对于考察
内容具有"质"的区别,这表现在不同层次的元素性质绝对不同,或按某种序关系比较产生
绝对化的结果.不同的层次元素比较结果的绝对化对应着观测的奇异性;或者说,在确定的
层次里考察(注意要按照划分层次时的考察角度进行考察)不属于该层次的元素,考察结果
与确定层次中的元素相比较具有"奇异性".例如,可以按照毫斯道夫测度定义给集合从测
试角度划分层次,而毫斯道夫维数则成为层次的标号.在1维的层次(即使用该层次的考察
尺度---1-测度)观测有界直线的测试(长度),我们得到一个确定的有界实数;而若在该层
次中用1-测试考察尺度观测三次科切(Koch)曲线的测度时,我们得到了数学上称为"无穷
大"的结果."无穷大"与有界实数相比较结果是绝对化的.另一方面传统的拓扑维数,是建
立在勒贝格测试的基础上的,所以它是整数维数。显然，整数维数比实数维数划分的集合
层次要粗，它把很多彼此能够分开或应该分开的层次都归为一类层次，以至于产生很多
数学上的"悖论"和"奇异性"。例如，前面所述的三次科切曲线和皮亚诺曲线，它们的拓
扑维数都是１，且勒贝格测度都是无穷大。而在毫斯道夫维数体系中便可以找到它们相
应的结构层次，它们的毫斯道夫维数别是１.２６１８和２，其相应的毫斯道夫测度都是
有限值。当然毫斯道夫维数体系也不是最细的分层体系，它也有无法区分的集合对象。
这一点我们放在后面讨论。
    那么维数到底区分了集合空间的何种性质呢？从现有已知维数的集合中，我们可以
看到，维数越大其集合所填充空间的程度也就越大，２维的平面比１维的直线添充的空
间大，３维的立方体比２维的平面添充的空间大。这种随着维数的增加，集合填充空间
能力也在增加的性质，伴随着集合的复杂程度的增加。特别是那些毫斯道夫维数大于其
拓扑维数的集合──曼德尔布罗特（Mandelbrot）称之为分形，（此类图形多为离散、
破碎或不可微的），它们要比具有同样大小拓扑维数的规整集合占有更大的空间。换言
之，这种集合应有足够的不规则性，同时也给我们带来了足够的复杂性。显然，维数是
集合空间的复杂程度的一种量度。虽然不同维数的层次具有绝对化的区别，但层次之间
却不是完全独立的。康托经过长期的研究，得到一个惊人的结果：任何维数的空间可以
唯一地映射到实数一维直线上。也就是说，不同维数的空间可以相互映射。这便给我们
一个启示：简单性和复杂性之间是可以相互映射的，换言之，简单性和复杂性之间是可
以一一对应的或相通的。这不是说，简单性就是复杂性，而是说，简单性中具备形成复
杂性的必要条件，而且可使我们从简单性中认识复杂性。例如，一条直线经过变换可以
转化成一条皮亚诺曲线，而之所以能够转化，是因为直线中具备成为皮亚诺曲线的可能
性。然而直线就是直线，曲线就是曲线，它们的维数分别是１和２，也就是说它们的复
杂程度有很大不同，那么是什么造成这种不同呢？显然是由于线的结构有所改变，所以
可以说维数是集合的一种结构性参数。再如，一个非常复杂的曼德尔布罗特集，是由一
个简单的等式Z=Z^2+C的反复迭代而成，甚至一个山的图形也可以用一个规则的反复迭代
生成，这就使我们想到复杂事物的背后很可能存在着简单的规则在支配其自身，我们只
要找到简单的支配规则就可以把握复杂事物的发展规律，这也正是科学一直在追求的。

另一方面，复杂性和简单性是相与包溶的，或者说，在一个事物身上我们既可以看
到复杂性也可以看到简单性，当然这要借助于维数的观察来体现。曼德尔布罗特曾经做
过这样一个描述：一个绳球，从很远处看，它不过是一个点，维数是零。近些看，绳球
充填着球形空间，具有三维。再近些就看到了绳子，对象事实上又成为一维的，虽然这
一维利用了三维空间而自我缠绕起来。再往微观走一点，绳子成了三维绳柱，而这些柱
又分解成一维的纤维，固体的材料最后化为零维的点。于是他认为"数值结果应当依赖于
物体对观测者的相对关系"。所以我们可以进一步认为，对于一个具体的客观实在来说，
其复杂性与简单性也是随着观察者与其对象的关系不同而发生变化的，换句话说客观事
物就本身来说，既是复杂的又是简单的，这就看我们怎么去看它。
3
    前面说过维数与测量有密切关系。具体的测量方法不同，将直接影响我们对客观事
物的直观认识。我们知识，为了测量一个平面图形的面积，可以用一个边长为L、面积为
L^2的"标准"方块去复盖，所得的方块数目就是它的面积（以L^2为单位）──一一个确
定的有限数。而如果用标准长度去测面积，那就会得到无穷大，相反，用标准立方体去
测量没有体积的平面，其结果是零。如果我们用n维的标准体L^n去测量某个几何对象时
，只有n与对象的拓扑维一致时，才能得到有限的结果。如果n<d，结果是∞；如果n>d，
则得到0。这一事实，在测度理论中有严格的表述，即如果用dimx表示任意非空集合x的
毫斯道夫维数，则用小于毫斯道夫维数的D值，构造的毫斯道夫测度H^D(x)=∞,而用大于
毫斯维数的D值，构造的毫斯道夫测度H^D(x)=∞.就是说，只有用dimx=D的值，构造的毫
斯道夫测度H^D(x)才会是有限值。这表明毫斯道夫维数D是唯一的，也可以说，尺度的维
数只有与被测对象的维数相同时，对此对象进行测量，才会得到有限值。所以说用传统
的整数维数的标尺只能测量传统的规整几何对象，而对于科切曲线这类非规整图形，便
无法找到一个相应的维数标尺。也就是说，整数维数过于粗糙，所以只能用具有毫斯道
夫维数的标尺来对其测量。尽管毫斯道夫维数比整数维数精细很多，但对于测量维尔斯
塔斯（Weirstrass）函数来说，它仍嫌过粗，因为此函数的毫斯道夫维数为1，但它却是
一个无处可微的函数。而对于螺线这类对象，其毫斯道夫维数都等于1，因为它们是光滑
的，但不同的螺线，有不同的填充能力，或不同的趋向0的速度，而对于这种细微的差别
，只有借助于波利甘（Bouligand）维数来描述，它可以区分出上述螺丝线之间的不同。
显然，波利甘维数要比毫斯道夫维数要精细，当然还有更精细的维数，如填充（packin
g）维数等。
    维数的这些性质，在我们看来类似于常见的显微镜。不同的维数体系，类似于不同
分辨等级的显微镜，它们可以分辨出不同细节的结构。而在同一种分辨等级下的显微镜
，当调到不同的焦距中，便可看到对象不同的层次。反过来说，当我们调不准焦距时，
便看不到事物的具体的形象。这时，被观察对象对我们来说便是无穷大或零，如果把无
穷大和零对应到哲学上的概念，便是"无限"和"无"。所以在这里，我们看到了“有限”
与“无限”，"有" 与"无"的相对性。
    有限与无限，是一对古老的哲学范畴。早在公元前四百年以前，雅典的阿那克萨哥
拉就认为万物都可以无限地分割，那怕是最小的一点物质也都包含着各种原素。所以人
类早就认识到有限是可以包含无限的，甚至在此之前人类也已认识到了有限是无限的组
成部分，如在人们能够观察到或感知到事物空间范围之外还有更大的范围的存在将被感
知。所以说有限与无限是相互囊括存在的。
那么，为什么有限与无限可以统一在同一个客体上呢？这便是因为我们观察所用的尺度
的维数不同。如前所述，当我们观察所使用的尺度的维数与被观察的对象的维数相同时
，我们便看到此对象是有限的；而当我们观察所使用的尺度的维数小于被观察对象的维
数时，我们所看到的便是一个无限的对象。可以说维数是事物有限与无限的转折点或临
界点。如此说来，一味地辩论我们的宇宙是有限的还是无限的已没有意义，宇宙本身就
是一种客观存在，它的有限与无限全凭我们如何去看它。由于我们人类生活在宇宙当中
，而且，由于客观的物理因素的限制，我们人类的实际观察能力是有限的，一般来讲，
是不能超过3维来实际观察宇宙的，因为我们很难找到这么高维数的标尺。如果宇宙本身
的空间维数大于3，哪怕是只大一点点，那么我们观察的宇宙只能无限的了，甚至，我们
还可以想象，我们的宇宙外面还有高维数的宇宙，那么对我们来说更是无限的了。
    同样的道理，"有"与"无"也在客体上得到了统一。由于只有观察尺度的维数与被观
察对象的维数相同时，观察结果才是有限的大小和具体的形象，而当观察尺度的维数大
于观察对象的维数时，便得到了零也就是"无"。所以说，维数也是客观事物"有"与"无"
的临界点。这里所说的"有"同前一样，是我们在所选择的尺度条件下能看到具体的有限
事物，而这里所说的"无"则是说被观察的对象中不具备与我们所选择的观察尺度同维数
的东西。如，直线中不包含平面，可以说直线中“无”平面，但不言而喻，直线中“有
”直线。由于具体的物理条件的限制，我们只能观察大于0维，小于或等于3维的对象。
我们一直认为0维的对象中什么也没有。所以我们所0维的东西看成是绝对的"无"。然而
，用我们上述的观点看，任何对象都是"有"和"无"的统一体，0维的对象也不例外，只是
由于人类生理条件的限制而无法观察它而已。这便可以理解道教的"有生于无"和霍金的
"宇宙始于无"模型了。因为这里的"无"也是一种"有"，既然是"有"，它便可以从一种形
式转化成另一种形式，即从一低维的形式转化成高维的形式，进入到我们可观察区。由
于我们的可观察区很窄，所以我们所能观察到的事物与客观实际来比是微忽其微的，但
这并不防碍我们去认识超出自身观察范围之外的事物。因为如前所述，维数是可以互相
映射的，所以我们所能观察到的事物与客观实际来比是微忽其微的，但这并不防碍我们
去认识超出自身观察范围之外的事物。因为如前所述，维数是可以互相映射的，所以我
们可以通过能观察的事物的特点推断出不能观察一的事物的性质。
4
    维数观念的更新对科学本身的发展具有重要的意义.如果现在所有自然科学理论中的
方程都不用传统的整数维数,而使用更具广阔意义的分数维数,那么,它将引起比四维时空
的提出所引起的更大的变化.因为这样一来,时间不再具有平移性,空间也不再具有均匀性
和旋转性,从而作为自然科学基础的时空观也将发生根本的改变.
    传统的时空观依赖于欧氏空间理论,其维数等同于构成欧氏空间的元素个数,也就是
决定时空状态的物理量的个数,当然它是个整数.由于分数维数理论的提出,有的研究工作
者提出了"分数维时空观"的概念,他们将物理量的个数推广成非整数的分数.我们认为这
种作法欠妥。给元素计数的方法完全可由集合论公理体系建立起来，计数的结果是无关
重要的，关键是计数系统的规则。现行的自然数计数体系是由集合论公理体系建立起来
的符号体系,也是人们千百年来感知自然的结晶.以分数给元素计数严重破坏了计数系统
的规则,与集合论公理体系相低触.然而我们并不否定分数维时空观存在的合理性,相反,
我们可以从一种正确的观点出发来说明分维时空存在的合理性.
    事实上,欧氏空间的维数应定义为决定欧氏空间的乘积空间维数.根据乘积空间维数
理论,乘积空间的维数由参与乘积的各集合的维数集合之间的关系确定,若乘积空间由若
干个独立元素通过笛卡尔乘积获得的,乘积空间的维数等于各元素的维数之和.当按某些
划分层次方法使得参与乘积的各集合元素的维数参差不齐时,那么乘积空间的维数就不一
定是整数,即可能存在分维时空.这里的关键是时空的维数由各物理量的个数获得,这与我
们维数的层次结构理论是一致的.物理量的层次差异被引入到时空中,这样既可很好地理
解分数维时空的存在性,同时也可以正确解释奇异性态物理量和发散过程.总之,客观事物
本身只是一种实在,而它表现出的简单与复杂,有限与无限,有与无等都是由于我们人类的
生理局限所导致的对客观事物的片面的认识.然而,人也只能如此,所以我们必须学会从简
单中认识复杂,从有限中认识无限,从有中认识无等等.因此,掌握简单与复杂,有限与无限
,有与无等之间的关系,便成了人类认识世界的一个不可缺少的阶段,这便是我们撰写此文
的根本目的.
(本文摘于《自然辩证法研究》1994.11）

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