线性变换（1）——不变子空间

定义：W是 $V^{F}$ 的子空间， $\sigma \in L\left ( V^{F} \right )$ ，若 $\forall \alpha \in W$ ，有 $\sigma \left ( \alpha \right )\in W$ ，则称W为 $\sigma$ 的不变子空间，或称为 $\sigma -$ 子空间。

举例： $Im\sigma$ 和 $ker\sigma$

例 $\sigma \in \mathbb{R}^{3}$ ， $\sigma\left ( x_{1},x_{2},x_{3} \right )= \left ( x_{3},x_{2},x_{1} \right )$

$W=\left \{ (x_{1},x_{2},0) \mid x_{1},x_{2}\in \mathbb{R} \right \}$

$\alpha =(x_{1},x_{2},0)$ $\sigma(\alpha)=(0,x_{2},x_{1})\notin W$

性质：

$Im\sigma$ 和 $ker\sigma$ 一定是 $\sigma -$ 子空间

进一步地， $\tau \sigma \in L(V)$ ， $\tau \sigma =\sigma \tau$ ，则 $Im\sigma$ 和 $ker\sigma$ 一定是 $\tau -$ 子空间

若 $V_{1},V_{2}$ 均为 $\sigma -$ 子空间，则 $V_{1}\cap V_{2}$ 和 $V_{1} +V_{2}$ 是 $\sigma -$ 子空间

W是 $\sigma -$ 子空间， $\sigma$ 可逆，则W是 $\sigma^{-1}-$ 子空间

证明：

1、2）令 $\alpha \in Im\sigma$ ， $\exists \beta \in V\, \, s.t.\, \, \alpha = \sigma(\beta)$

$\tau (\alpha)=\tau(\sigma(\beta))=\sigma(\tau(\beta))\in Im\sigma$

令 $\alpha \in ker\sigma$ ， $\sigma(\alpha)=0$

$\sigma(\tau(\alpha))=\tau(\sigma(\alpha))=\tau(0)=0\Rightarrow \tau(\alpha)\in ker\sigma$

3） $\forall \alpha \in V_{1}\cap V_{2}$ ， $\sigma(\alpha)\in V_{1}\cap V_{2}$

$\alpha \in V_{1}+V_{2}$ ， $\alpha =\alpha_{1}+\alpha_{2} \: \:\alpha_{i}\in V_{i},i=1,2$

$\sigma(\alpha)=\sigma(\alpha_{1})+\sigma(\alpha_{2})\in V_{1}+V_{2}$

4）令 $\sigma \in L\left ( V^{F} \right )$ 为W的一个基，则 $W=L(\alpha_{1},...,\alpha_{r})$

又 $\sigma$ 可逆，故 $\sigma(\alpha_{1}),...,\sigma(\alpha_{r})$ 线性无关，故是W的一个基

$W=L(\sigma(\alpha_{1}),...,\sigma(\alpha_{r}))$

于是 $\forall \alpha \in W$ ， $\alpha =k_{1}\sigma(\alpha_{1})+...+k_{r}\sigma(\alpha_{r})$

$=\sigma(k_1\alpha_{1}+...+k_r\alpha_r)$

$\sigma^{-1}=k_{1}\alpha_{1}+...+k_{r}\alpha_{r} \in W$

不变子空间与矩阵的化简

设W是V的子空间， $\sigma \in L\left ( V^{F} \right )$ ， $\alpha_{1},...,\alpha_{r}(1)$ 是W的一个基，

则（1）可扩充为V的一个基， $\alpha_{1},...,\alpha_{r},\alpha_{r+1},...,\alpha_{n}(2)$

下考察 $\sigma$ 在(2)下矩阵的形状

首先，W 是 $\sigma -$ 子空间，则 $\sigma(\alpha_{i})\in W$ ，其中 i=1,2,...,r ，于是

$\sigma(\alpha_1)=a_{11}\alpha_1+a_{21}\alpha_2+...+a_{r1}\alpha_{r}$

...

$\sigma(\alpha_r)=a_{1r}\alpha_1+a_{2r}\alpha_2+...+a_{rr}\alpha_{r}$

$\sigma(\alpha_r+1)=a_{1,r+1}\alpha_1+a_{2,r+1}\alpha_2+...+a_{r,r+1}\alpha_{r}+...+a_{n,r+1}\alpha_{n}$

...

$\sigma(\alpha_n)=a_{1,n}\alpha_1+a_{2,n}\alpha_2+...+a_{r,n}\alpha_{r}+...+a_{n,n}\alpha_{n}$

于是 $\sigma$ 在(2)下矩阵为

$A=\begin{pmatrix} a_{11} & ... & a_{1r} & a_{1,r+1} & ... & a_{1n}\\ ... & & & & &... \\ a_{1r} & ... & a_{rr} & a_{r,r+1} & ... & a_{r,n}\\ 0 & ... & 0 & a_{r+1,r+1} & ... & a_{r+1,n}\\ ... & & & & &... \\ 0 & ... & 0 & a_{n,r+1} & ... &a_{n,n} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A_{1} & A_{2}\\ 0 & A_{3} \end{pmatrix}$

特例：若 $V=V_{1}\oplus V_{2}$

$V_{i}$ 是 $\sigma -$ 子空间

$\Leftrightarrow A=\begin{pmatrix} A_1 & 0\\ 0 & A_{2} \end{pmatrix}$

由此引出下一篇特征值与特征向量

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