【算法复习】迭代改进

迭代改进

写在前面的话

本文是本学渣因为考试需要写的一篇总结，只总结了需要考察的考点，所以可能有的内容引申的不多，请见谅。

一、思想

从某个可行解出发，重复一些简单的步骤迭代改进它，逐渐将其优化为最优解
表现为通过局部的小改变，生成另一个可行解，使问题的目标函数更加优化。当最终目标函数达到无法再优化，则得到最优解
会遇到一些障碍：
获得初始可行解有困难，例如用贪婪比较容易，但是也可能会和获得最优解一样困难
判断是局部最优解还是全局最优解困难。

二、线性规划问题

在一系列线性约束下，求一个包含若干变量的线性方程的最优解

2.1 极值定理

可行区域非空的任意线性规划问题有最优解，且最优解总能够在其可行区域的一个极点上找到。
可以利用极值定理生成所有极点，并且计算对应的解，保留最优解。
问题在于：无法生成所有极点并遍历（数量爆炸）

2.2 单纯形法

算法思想：先在可行区域中找到一个极点，然后检查在邻接极点处是否能够优化，如果能，则继续处理该邻接极点；如果不能，则当前极点即为最优解。

局限性：

只能解决最大化问题
所有变量都非负
除非负约束外，其余约束都必须为等式。

2.2.1 化为标准型

有四个步骤：

最小化转为最大化——通过改变目标函数系数正负号
不等问题转为相等问题——通过松弛变量(松弛变量定义为>=0的新变量)进行转换
决策变量非负——将负变量转换为非负变量，将没有约束的变量定义为两个带非负约束的新变量的差
右端项非负

这种转换的好处是，可以通过简单的方法确定可行域的极点

2.2.2 单纯形表

视频讲解: 十分钟带你学单纯形法

最优: 目标行除最后一列(等式右边)别的系数都为非负。
如何确定入基变量:
(各教材不一样，本文以老师ppt为准)从非基本变量中选择，选择目标行系数最小的变量作为入基变量。
如何确定出基变量:
各行变量值除以入基变量所在列对应的系数，取最小。需要注意的是，需要忽略掉系数 ≤ 0的那些行。

2.2.3 问答题

是否能够使用单纯形法解决背包问题？如果能，请给出解法过程，并请指出这是不是一个解决该问题的好算法？如果不能，请说明原因。

解答：可以通过单纯形法解决背包问题的连续版本，因为它是一般线性规划问题的一个特例。然而，它不是解决这个问题的好方法，因为它可以通过基于贪婪法的更简单的算法更有效地解决。由于对问题变量施加的完整性（0-1）约束，单纯形法无法解决0-1版本的背包问题。