Chapter2.4：数学模型考研参考题

此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
自动控制原理(第七版)知识提炼
自动控制原理(第七版)课后习题精选
自动控制原理(第七版)附录MATLAB基础

控制系统的数学模型考研参考题

REFERENCE1

设汽车缓振系统如下图所示，图中，m1m_1m1为车厢及架重，m2m_2m2为车轮及轮轴承重，k1、k2k_1、k_2k1、k2分别为缓振簧和充气轮胎的刚度，fff为缓振器黏性摩擦系数，x3x_3x3为车厢位移，x1x_1x1为路面函数。已知全部初始条件为零，求系统的传递函数X3(s)/X1(s)X_3(s)/X_1(s)X3(s)/X1(s).

解：

根据力平衡原则，有如下微分方程组：
{m2x¨2=k2(x1−x2)−k1(x2−x3)−f(x˙2−x˙3)m1x¨3=k1(x2−x3)+f(x˙2−x˙3)\begin{cases} &m_2\ddot{x}_2=k_2(x_1-x_2)-k_1(x_2-x_3)-f(\dot{x}_2-\dot{x}_3)\\ &m_1\ddot{x}_3=k_1(x_2-x_3)+f(\dot{x}_2-\dot{x}_3) \end{cases} {m2x¨2=k2(x1−x2)−k1(x2−x3)−f(x˙2−x˙3)m1x¨3=k1(x2−x3)+f(x˙2−x˙3)
对上述微分方程组进行拉氏变换，及初始条件为零，可得：
{m2s2X2(s)=−(k2+k1)X2(s)+k2X1(s)+k1X3(s)−fs[X2(s)−X3(s)]m1s2X3(s)=(k1+fs)X2(s)−(k1+fs)X3(s)\begin{cases} &m_2s^2X_2(s)=-(k_2+k_1)X_2(s)+k_2X_1(s)+k_1X_3(s)-fs[X_2(s)-X_3(s)]\\ &m_1s^2X_3(s)=(k_1+fs)X_2(s)-(k_1+fs)X_3(s) \end{cases} {m2s2X2(s)=−(k2+k1)X2(s)+k2X1(s)+k1X3(s)−fs[X2(s)−X3(s)]m1s2X3(s)=(k1+fs)X2(s)−(k1+fs)X3(s)
消去中间变量X2(s)X_2(s)X2(s)，可得传递函数为：
X3(s)X1(s)=k2(fs+k1)(m1s2+fs+k1)(m2s2+fs+k1+k2)−(fs+k1)2\frac{X_3(s)}{X_1(s)}=\frac{k_2(fs+k_1)}{(m_1s^2+fs+k_1)(m_2s^2+fs+k_1+k_2)-(fs+k_1)^2} X1(s)X3(s)=(m1s2+fs+k1)(m2s2+fs+k1+k2)−(fs+k1)2k2(fs+k1)

REFERENCE 2

机电系统如下图所示，u(t)u(t)u(t)为输入电压；x(t)x(t)x(t)为输出位置；R、LR、LR、L分别为铁心线圈的电阻与电感；mmm为物体的质量；kkk为弹簧的刚度；fff为阻尼器的阻尼系数；功率放大器为理想放大器，增益为FFF。假定铁心线圈的反电动势为E=k2dx/dtE=k_2{\rm d}x/{\rm d}tE=k2dx/dt，线圈电流i(t)i(t)i(t)在质量mmm上产生的电磁力为k2i(t)k_2i(t)k2i(t)，设全部初始条件为零。

求该系统的传递函数X(s)/U(s)X(s)/U(s)X(s)/U(s)；
画出该系统的结构图；

解：

求传递函数。

系统各环节的微分方程为：
{Fu(t)=Ri+Ldidt+EE=k2dxdtk2i(t)=kx+fdxdt+md2xdt2\begin{cases} &Fu(t)=Ri+L\displaystyle\frac{{\rm d}i}{{\rm d}t}+E\\ &E=k_2\displaystyle\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}\\ &k_2i(t)=kx+f\displaystyle\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}+m\displaystyle\frac{{\rm d}^2x}{{\rm d}t^2} \end{cases} ⎩⎨⎧Fu(t)=Ri+Ldtdi+EE=k2dtdxk2i(t)=kx+fdtdx+mdt2d2x
零初始条件下，对上述微分方程进行拉氏变换：
{FU(s)=(R+Ls)I(s)+E(s)E(s)=k2sX(s)k2I(s)=(k+fs+ms2)X(s)\begin{cases} &FU(s)=(R+Ls)I(s)+E(s)\\ &E(s)=k_2sX(s)\\ &k_2I(s)=(k+fs+ms^2)X(s) \end{cases} ⎩⎨⎧FU(s)=(R+Ls)I(s)+E(s)E(s)=k2sX(s)k2I(s)=(k+fs+ms2)X(s)
消去中间变量，可得系统的传递函数为：
X(s)U(s)=Fk2k22s+(R+Ls)(ms2+fs+k)=k2FmLs3+(Lf+Rm)s2+(kL+Rf+k22)s+Rk\begin{aligned} \frac{X(s)}{U(s)}&=\frac{Fk_2}{k_2^2s+(R+Ls)(ms^2+fs+k)}\\&=\frac{k_2F}{mLs^3+(Lf+Rm)s^2+(kL+Rf+k_2^2)s+Rk} \end{aligned} U(s)X(s)=k22s+(R+Ls)(ms2+fs+k)Fk2=mLs3+(Lf+Rm)s2+(kL+Rf+k22)s+Rkk2F
系统结构图。

系统结构图如下图所示：

REFERENCE 3

系统结构图如下图所示，求系统传递函数C(s)/R(s)C(s)/R(s)C(s)/R(s)和C(s)/N(s)C(s)/N(s)C(s)/N(s).

解：

【C(s)/R(s)C(s)/R(s)C(s)/R(s)】

令N(s)=0N(s)=0N(s)=0，系统有一条前向通路，总增益为：
p1=G1G2G3G4G5p_1=G_1G_2G_3G_4G_5 p1=G1G2G3G4G5
有三个单独回路，回路增益分别为：
L1=−G2G3G4G7，L2=−G1G2G3G4G5G8，L3=G4G5G6L_1=-G_2G_3G_4G_7，L_2=-G_1G_2G_3G_4G_5G_8，L_3=G_4G_5G_6 L1=−G2G3G4G7，L2=−G1G2G3G4G5G8，L3=G4G5G6
没有不接触回路，且所有回路均与前向通路接触，故余因子式Δ1=1\Delta_1=1Δ1=1，流图特征式为：
Δ=1−(L1+L2+L3)=1+G2G3G4G7+G1G2G3G4G5G8−G4G5G6\Delta=1-(L_1+L_2+L_3)=1+G_2G_3G_4G_7+G_1G_2G_3G_4G_5G_8-G_4G_5G_6 Δ=1−(L1+L2+L3)=1+G2G3G4G7+G1G2G3G4G5G8−G4G5G6
系统传递函数为：
C(s)R(s)=p1Δ1Δ=G1G2G3G4G51+G2G3G4G7+G1G2G3G4G5G8−G4G5G6\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{p_1\Delta_1}{\Delta}=\frac{G_1G_2G_3G_4G_5}{1+G_2G_3G_4G_7+G_1G_2G_3G_4G_5G_8-G_4G_5G_6} R(s)C(s)=Δp1Δ1=1+G2G3G4G7+G1G2G3G4G5G8−G4G5G6G1G2G3G4G5
【C(s)/N(s)C(s)/N(s)C(s)/N(s)】

令R(s)=0R(s)=0R(s)=0，有：p1=G3G4G5p_1=G_3G_4G_5p1=G3G4G5.则系统传递函数为：
C(s)N(s)=G3G4G51+G2G3G4G7+G1G2G3G4G5G8−G4G5G6\frac{C(s)}{N(s)}=\frac{G_3G_4G_5}{1+G_2G_3G_4G_7+G_1G_2G_3G_4G_5G_8-G_4G_5G_6} N(s)C(s)=1+G2G3G4G7+G1G2G3G4G5G8−G4G5G6G3G4G5

REFERENCE 4

设系统结构图如下图所示，画出与结构图对应的信号流图，并求系统的传递函数C(s)/R(s)C(s)/R(s)C(s)/R(s).

解：

【信号流图】

【传递函数】

系统有四条前向通路，总增益为：
p1=G1G3,p2=−G1G2,p3=G4H2G1G3,p4=−G4H2G1G2p_1=G_1G_3,p_2=-G_1G_2,p_3=G_4H_2G_1G_3,p_4=-G_4H_2G_1G_2 p1=G1G3,p2=−G1G2,p3=G4H2G1G3,p4=−G4H2G1G2
有两个与各前向通路接触的单独回路，回路增益为：
L1=−G1G3H1H2,L2=G1G2H1H2L_1=-G_1G_3H_1H_2,L_2=G_1G_2H_1H_2 L1=−G1G3H1H2,L2=G1G2H1H2
没有不接触回路，余因子式为：
Δ1=Δ2=Δ3=Δ4=1\Delta_1=\Delta_2=\Delta_3=\Delta_4=1 Δ1=Δ2=Δ3=Δ4=1
流图特征式为：
Δ=1−(L1+L2)=1+G1G3H1H2−G1G2H1H2\Delta=1-(L_1+L_2)=1+G_1G_3H_1H_2-G_1G_2H_1H_2 Δ=1−(L1+L2)=1+G1G3H1H2−G1G2H1H2
根据梅森增益公式，系统传递函数为：
C(s)R(s)=1Δ∑i=14piΔi=G1G3−G1G2+G1G3G4H2−G1G2G4H21+G1G3H1H2−G1G2H1H2\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{\Delta}\displaystyle\sum_{i=1}^4p_i\Delta_i=\frac{G_1G_3-G_1G_2+G_1G_3G_4H_2-G_1G_2G_4H_2}{1+G_1G_3H_1H_2-G_1G_2H_1H_2} R(s)C(s)=Δ1i=1∑4piΔi=1+G1G3H1H2−G1G2H1H2G1G3−G1G2+G1G3G4H2−G1G2G4H2

REFERENCE 5

控制系统结构图如下图所示，求系统输出量C(s)C(s)C(s)表达式.

解：

系统有三个单独回路，回路增益为：
L1=−G1,L2=−G2G3,L3=G1G2L_1=-G_1,L_2=-G_2G_3,L_3=G_1G_2 L1=−G1,L2=−G2G3,L3=G1G2
有两个互不接触回路，其回路增益为：
L1L2=−G1G2G3L_1L_2=-G_1G_2G_3 L1L2=−G1G2G3
流图特征式为：
Δ=1−(L1+L2+L3)+L1L2=1+G1+G2G3−G1G2+G1G2G3\Delta=1-(L_1+L_2+L_3)+L_1L_2=1+G_1+G_2G_3-G_1G_2+G_1G_2G_3 Δ=1−(L1+L2+L3)+L1L2=1+G1+G2G3−G1G2+G1G2G3
令R2(s)=0R_2(s)=0R2(s)=0，从R1(s)R_1(s)R1(s)到C(s)C(s)C(s)有两条通路，其总增益及余因子式为：
p1=G2G3，Δ1=1−L1=1+G1p2=G2，Δ2=1\begin{aligned} &p_1=G_2G_3，\Delta_1=1-L_1=1+G_1\\ &p_2=G_2，\Delta_2=1 \end{aligned} p1=G2G3，Δ1=1−L1=1+G1p2=G2，Δ2=1
在R1(s)R_1(s)R1(s)作用下，系统输出量为：
C1(s)=1Δ(p1Δ1+p2Δ2)R1(s)=1Δ(G2G3+G1G2G3+G2)R1(s)C_1(s)=\frac{1}{\Delta}(p_1\Delta_1+p_2\Delta_2)R_1(s)=\frac{1}{\Delta}(G_2G_3+G_1G_2G_3+G_2)R_1(s) C1(s)=Δ1(p1Δ1+p2Δ2)R1(s)=Δ1(G2G3+G1G2G3+G2)R1(s)
令R1(s)=0R_1(s)=0R1(s)=0，从R2(s)R_2(s)R2(s)到C(s)C(s)C(s)有三条前向通路，其总增益及余因子式为：
p1=G1,Δ1=1−L2=1+G2G3p2=−G1G2G3,Δ2=1p3=−G1G2,Δ3=1\begin{aligned} &p_1=G_1,\Delta_1=1-L_2=1+G_2G_3\\ &p_2=-G_1G_2G_3,\Delta_2=1\\ &p_3=-G_1G_2,\Delta_3=1 \end{aligned} p1=G1,Δ1=1−L2=1+G2G3p2=−G1G2G3,Δ2=1p3=−G1G2,Δ3=1
在R2(s)R_2(s)R2(s)作用下，系统输出量为：
C2(s)=1Δ(p1Δ1+p2Δ2+p3Δ3)=1Δ(G1−G1G2)R2(s)\begin{aligned} C_2(s)&=\frac{1}{\Delta}(p_1\Delta_1+p_2\Delta_2+p_3\Delta_3)\\ &=\frac{1}{\Delta}(G_1-G_1G_2)R_2(s) \end{aligned} C2(s)=Δ1(p1Δ1+p2Δ2+p3Δ3)=Δ1(G1−G1G2)R2(s)
因此，系统在R1(s)、R2(s)R_1(s)、R_2(s)R1(s)、R2(s)同时作用下，系统的输出量为：
C(s)=C1(s)+C2(s)=(G2+G2G3+G1G2G3)R1(s)+(G1−G1G2)R2(s)1+G1+G2G3−G1G2+G1G2G3C(s)=C_1(s)+C_2(s)=\frac{(G_2+G_2G_3+G_1G_2G_3)R_1(s)+(G_1-G_1G_2)R_2(s)}{1+G_1+G_2G_3-G_1G_2+G_1G_2G_3} C(s)=C1(s)+C2(s)=1+G1+G2G3−G1G2+G1G2G3(G2+G2G3+G1G2G3)R1(s)+(G1−G1G2)R2(s)

REFERENCE 6

系统结构图如下图所示，R(s)R(s)R(s)为输入量，N(s)N(s)N(s)为扰动量，C(s)C(s)C(s)为输出量。求系统总输出C(s)C(s)C(s)的表达式.

解：

当N(s)=0N(s)=0N(s)=0时，前向通路总增益为：
p1=G1G2G3p_1=G_1G_2G_3 p1=G1G2G3
单独回路的增益为：
L1=−G1G2G3,L2=−G1G2G6,L3=−G2G3G4,L4=−G1G5L_1=-G_1G_2G_3,L_2=-G_1G_2G_6,L_3=-G_2G_3G_4,L_4=-G_1G_5 L1=−G1G2G3,L2=−G1G2G6,L3=−G2G3G4,L4=−G1G5
互不接触回路的增益为：
L3L4=G1G2G3G4G5L_3L_4=G_1G_2G_3G_4G_5 L3L4=G1G2G3G4G5
流图特征式为：
Δ=1−∑i=14Li+L3L4=1+G1G2G3+G1G2G6+G2G3G4+G1G5+G1G2G3G4G5\begin{aligned} \Delta&=1-\sum_{i=1}^4L_i+L_3L_4\\ &=1+G_1G_2G_3+G_1G_2G_6+G_2G_3G_4+G_1G_5+G_1G_2G_3G_4G_5 \end{aligned} Δ=1−i=1∑4Li+L3L4=1+G1G2G3+G1G2G6+G2G3G4+G1G5+G1G2G3G4G5
余因子式为：
Δ1=1\Delta_1=1 Δ1=1
由梅森增益公式可得系统传递函数：
C(s)R(s)=1Δp1Δ1=1ΔG1G2G3\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{\Delta}p_1\Delta_1=\frac{1}{\Delta}G_1G_2G_3 R(s)C(s)=Δ1p1Δ1=Δ1G1G2G3
当R(s)=0R(s)=0R(s)=0时，前向通路总增益及余因子式为：
p1=G2G3,Δ1=1−L4=1+G1G5p_1=G_2G_3,\Delta_1=1-L_4=1+G_1G_5 p1=G2G3,Δ1=1−L4=1+G1G5
由梅森增益公式可得系统传递函数：
C(s)N(s)=1ΔG2G3(1+G1G5)\frac{C(s)}{N(s)}=\frac{1}{\Delta}G_2G_3(1+G_1G_5) N(s)C(s)=Δ1G2G3(1+G1G5)
系统总输出为：
C(s)=G1G2G3R(s)+G2G3(1+G1G5)N(s)1+G1G2G3+G1G2G6+G2G3G4+G1G5+G1G2G3G4G5C(s)=\frac{G_1G_2G_3R(s)+G_2G_3(1+G_1G_5)N(s)}{1+G_1G_2G_3+G_1G_2G_6+G_2G_3G_4+G_1G_5+G_1G_2G_3G_4G_5} C(s)=1+G1G2G3+G1G2G6+G2G3G4+G1G5+G1G2G3G4G5G1G2G3R(s)+G2G3(1+G1G5)N(s)

REFERENCE 7

系统结构图如下图所示，求传递函数C(s)/R(s)C(s)/R(s)C(s)/R(s).

解：

系统有六个单独回路，各回路增益为：
L1=−G3G4G5G6,L2=−G3,L3=G5,L4=−G1,L5=G4,L6=−G1G4G5G6\begin{aligned} &L_1=-G_3G_4G_5G_6,L_2=-G_3,L_3=G_5,L_4=-G_1,L_5=G_4,L_6=-G_1G_4G_5G_6 \end{aligned} L1=−G3G4G5G6,L2=−G3,L3=G5,L4=−G1,L5=G4,L6=−G1G4G5G6
有三个互不接触回路，各回路增益为：
L2L3=−G3G5,L3L4=−G1G5,L3L5=G4G5L_2L_3=-G_3G_5,L_3L_4=-G_1G_5,L_3L_5=G_4G_5 L2L3=−G3G5,L3L4=−G1G5,L3L5=G4G5
有四条前向通路，各总增益及余因子式为：
p1=G3G4G5，Δ1=1p2=G1G4G5，Δ2=1p3=G3G4G2，Δ3=1−G5p4=G1G4G2，Δ4=1−G5\begin{aligned} &p_1=G_3G_4G_5，\Delta_1=1\\ &p_2=G_1G_4G_5，\Delta_2=1\\ &p_3=G_3G_4G_2，\Delta_3=1-G_5\\ &p_4=G_1G_4G_2，\Delta_4=1-G_5 \end{aligned} p1=G3G4G5，Δ1=1p2=G1G4G5，Δ2=1p3=G3G4G2，Δ3=1−G5p4=G1G4G2，Δ4=1−G5
流图特征式为：
Δ=1−∑i=16Li+L2L3+L3L4+L3L5=1+G3G4G5G6+G3−G5+G1−G4+G1G4G5G6−G3G5−G1G5+G4G5\begin{aligned} \Delta&=1-\sum_{i=1}^6L_i+L_2L_3+L_3L_4+L_3L_5\\ &=1+G_3G_4G_5G_6+G_3-G_5+G_1-G_4+G_1G_4G_5G_6-G_3G_5-G_1G_5+G_4G_5 \end{aligned} Δ=1−i=1∑6Li+L2L3+L3L4+L3L5=1+G3G4G5G6+G3−G5+G1−G4+G1G4G5G6−G3G5−G1G5+G4G5
由梅森增益公式可得，系统传递函数为：
C(s)R(s)=1Δ∑i=14piΔi=(G1+G3)G4(G2+G5−G2G5)1+G3G4G5G6+G3−G5+G1−G4+G1G4G5G6−G3G5−G1G5+G4G5\begin{aligned} \frac{C(s)}{R(s)}&=\frac{1}{\Delta}\sum_{i=1}^4p_i\Delta_i\\ &=\frac{(G_1+G_3)G_4(G_2+G_5-G_2G_5)}{1+G_3G_4G_5G_6+G_3-G_5+G_1-G_4+G_1G_4G_5G_6-G_3G_5-G_1G_5+G_4G_5} \end{aligned} R(s)C(s)=Δ1i=1∑4piΔi=1+G3G4G5G6+G3−G5+G1−G4+G1G4G5G6−G3G5−G1G5+G4G5(G1+G3)G4(G2+G5−G2G5)