【Demllie航天】火箭方程

齐奥尔科夫火箭方程

设
火箭当前质量为M0，释放一部分燃料后质量为M，两个时间点速度分别为v0v_0v0和vvv，火箭飞行方向为正方向，则燃料喷出的相对速度C为负数。

总动量不为零，有重力作用，则
(m−dm)dv−Cdm=mgt(m-dm)dv - Cdm = mgt(m−dm)dv−Cdm=mgt
∫v0vdvC=∫M0Mdmm+gt\int_{v_0}^v \frac{dv}{C} = \int_{M_0}^M\frac{dm}{m} + gt∫v0vCdv=∫M0Mmdm+gt
v=v0+ClnMM0+gtv = v_0 + Cln\frac{M}{M_0} + gtv=v0+ClnM0M+gt

一级火箭

如果火箭只有一级，重m1，m1=M0m_1，m_1 = M_0m1，m1=M0，燃料重ω1,\omega_1,ω1,,初始速度v0=0,v_0 =0,v0=0,那么终端速度为
v1=C1lnm1−ω1M0+gtv_1 = C_1ln\frac{m_1 - \omega_1}{M_0} + gt v1=C1lnM0m1−ω1+gt

二级火箭

数据形式同理。
一级分离前（假设燃料刚好用完，实际火箭发射中会剩余很多燃料），此时火箭速度为
v1=C1lnM0−ω1M0+gt1v_1 = C_1ln\frac{M_0 - \omega_1}{M_0} + gt_1v1=C1lnM0M0−ω1+gt1
一级分离后时刻，二级还未点火，此时二级速度为
v2=v1v_2 = v_1v2=v1
二级烧完燃料后速度为
v3=v1+C2lnm2−ω2m2+gt2=C1lnm1+m2−ω1m1+m2+C2lnm2−ω2m2+g(t1+t2)v_3 = v_1 + C_2ln\frac{m_2 - \omega_2}{m_2} + gt_2= C_1ln\frac{m_1 + m_2 - \omega_1}{m_1+m_2} + C_2ln\frac{m_2 - \omega_2}{m_2} + g(t_1+t_2)v3=v1+C2lnm2m2−ω2+gt2=C1lnm1+m2m1+m2−ω1+C2lnm2m2−ω2+g(t1+t2)

同理，N级火箭终端速度为
vN=∑i=1NCiln∑k=0imk−ωi∑k=0imk+gtv_N = \sum_{i=1}^N C_iln\frac{ \sum_{k=0}^i m_k- \omega_i}{\sum_{k=0}^i m_k} + gtvN=i=1∑NCiln∑k=0imk∑k=0imk−ωi+gt
其中每级总重m，其中燃料重ω\omegaω，每级火箭喷气速度为C（负数）

没有考虑空气阻力，即高速湍流的影响。

一级回收火箭

如果火箭只有一级，又要回收的话，初始速度v0=0v_0 =0v0=0,最高速度vmv_mvm，下落的终端速度vfv_fvf,空气阻力f=kv2f = kv^2f=kv2,喷气速度0toC0 \;to \;C0toC（C无正负），最后降落速度为0。
上升最高高度为hmh_mhm——此时速度为0, 燃料消耗ω1\omega _1ω1,下降过程燃料消耗ω2\omega_2ω2

燃料重ω\omegaω,火箭总重M0M_0M0,载荷重mp=0m_p=0mp=0,

最后燃料没烧完降落——降落和往上飞不同，向上飞没烧完也可以当做烧完了，不影响反正是要扔掉的，但是降落不同，燃料的多少和最终减速的推力大小和持续时间有关。

ω1+ω2<ωω1>ω2Mfinally=M0−ω1−ω2>>0\omega _1 + \omega_2 < \omega \\ \omega _1 >\omega _2 \\ M_{finally} = M_0 - \omega _1 - \omega _2 >> 0ω1+ω2<ωω1>ω2Mfinally=M0−ω1−ω2>>0

喷气速度和推力的关系

F=CdmtF = \frac{Cdm}{t}F=tCdm

下降过程受力分析
mg−F−kv2=mdvdtmg - F - kv^2 = m\frac{dv}{dt} mg−F−kv2=mdtdv
动量不守恒
(M0−ω1−dm)dv−Cdm=(M0−ω1)gt(M_0 - \omega_1 - dm)dv - Cdm = (M_0 - \omega_1)gt(M0−ω1−dm)dv−Cdm=(M0−ω1)gt
0=gt+1M0−ω1∫M0−ω1M0−ω1−ω2Cdm(1)0 = gt + \frac{ 1 }{M_0 -\omega _1}\int_{M_0 - \omega_1}^{M_0 - \omega_1-\omega_2} Cdm \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)0=gt+M0−ω11∫M0−ω1M0−ω1−ω2Cdm(1)
喷气速度C与火箭质量和速度有关，设
C=H(M0−ω1−∫dm,v)C = H( M_0 - \omega_1 - \int dm,v)C=H(M0−ω1−∫dm,v)
由受力分析有
C=Ftudm=tudm(mg−kv2−mdvdt)=tudm((M0−ω1−∫dm)(g−dvdt)−kv2)(2)C = \frac{Ft_u}{dm} = \frac{t_u}{dm} (mg - kv^2 - m\frac{dv}{dt}) \\= \frac{t_u}{dm}( (M_0 - \omega_1 - \int dm)(g - \frac{dv}{dt}) - kv^2)\;\;\;\;\;\;\;(2)C=dmFtu=dmtu(mg−kv2−mdtdv)=dmtu((M0−ω1−∫dm)(g−dtdv)−kv2)(2)
其中tut_utu是喷气时间（常数），很短的间隔，下降过程也不是一直喷气的！！！所以
tu<<<tt_u <<< ttu<<<t

当前质量还是用mmm表示比较好，由（1）（2）有⇒\Rightarrow⇒
C=tudm[m(g−dvdt)−kv2]=(M0−ω1)gtdmC = \frac{t_u}{dm}[m(g - \frac{dv}{dt}) - kv^2] = \frac{(M_0 - \omega_1)gt}{dm}C=dmtu[m(g−dtdv)−kv2]=dm(M0−ω1)gt

结论：下降的推力只需要根据质量变化而变化就行了！

。。。。哪里出错了，太离谱了。。。